届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业第2章第10讲导数的概念及运算Word文件下载.docx
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0且a≠1)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
(a>
0且a≠1,x>
0)
f′(x)=
f(x)=lnx(x>
考点3 导数的运算法则
若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则
(1)[f(x)±
g(x)]′=f′(x)±
g′(x);
(2)[f(x)·
g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)
′=
(g(x)≠0).
考点4 复合函数的导数
设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也有导数y′x=f′u·
u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[必会结论]
1.f′(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同.
2.f′(x0)不一定为0,但[f(x0)]′一定为0.
3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( )
(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值.( )
′=cos
.( )
(4)若(lnx)′=
,则
′=lnx.( )
(5)y=cos3x由函数y=cosu,u=3x复合而成.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.[课本改编]f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为f′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,解得a=
.故选D.
3.[2018·
九江模拟]已知曲线y=
-3lnx的一条切线的斜率为-
,则切点的横坐标为( )
A.3B.2C.1D.
答案 B
解析 因为y=
-3lnx,所以y′=
-
.再由导数的几何意义,令
=-
,解得x=2或x=-3(舍去).故选B.
4.[课本改编]若曲线y=ex+ax+b在点(0,2)处的切线l与直线x+3y+1=0垂直,则a+b=( )
A.3B.-1C.1D.-3
答案 A
解析 因为直线x+3y+1=0的斜率为-
,所以切线l的斜率为3,即y′|x=0=e0+a=1+a=3,所以a=2;
又曲线过点(0,2),所以e0+b=2,解得b=1.故选A.
5.[2018·
秦皇岛模拟]函数f(x)=exlnx在点(1,f
(1))处的切线方程是( )
A.y=2e(x-1)B.y=ex-1
C.y=e(x-1)D.y=x-e
答案 C
解析 f
(1)=0,∵f′(x)=ex
,∴f′
(1)=e,∴切线方程是y=e(x-1).故选C.
6.[2018·
烟台诊断]已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程为x-y+1=0,则实数a的值为________.
答案 1
解析 因为y′=acosx-sinx,y′|x=0=a,根据题意知a=1.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
导数的基本运算
例 1 求下列函数的导数:
(1)y=
;
(2)y=x
(3)y=sin3x+sin3x;
(4)y=
解
(1)y′=
(2)因为y=x3+
+1,所以y′=3x2-
(3)y′=(sin3x)′+(sin3x)′=3sin2xcosx+3cos3x.
(4)y′=
′=[(2x-1)-3]′
=-3(2x-1)-4×
2=-6(2x-1)-4.
触类旁通
导数的运算方法
(1)连乘积形式:
先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:
观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
(3)对数形式:
先化为和、差的形式,再求导;
(4)根式形式:
先化为分数指数幂的形式,再求导;
(5)三角形式:
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;
(6)复合函数:
确定复合关系,由外向内逐层求导.
【变式训练】
(1)已知函数f(x)在x=1处的导数为-
,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=
x2-lnxB.f(x)=xex
C.f(x)=sin
D.f(x)=
+
解析 A中f′(x)=
′=x-
,
B中f′(x)=(xex)′=ex+xex,
C中f′(x)=
′=2cos
D中f′(x)=
′=-
分别将x=1代入检验,知D符合.
(2)求下列函数的导数:
①y=
②y=sin
解 ①y′=[(1-2x)
]′=-
(1-2x)
×
(-2)=(1-2x)
②y′=
(-2)=-2cos
=-2cos
导数几何意义的应用
命题角度1 求切线的方程
例 2 曲线y=f(x)=e2x+1在点
处的切线方程为________.
答案 2x-y+2=0
解析 ∵f′(x)=e2x+1·
(2x+1)′=2e2x+1,
∴f′
=2e0=2,
∴曲线y=e2x+1在点
处的切线方程为y-1=2
,即2x-y+2=0.
命题角度2 求切点的坐标
例 3 [2018·
江西模拟]若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.
答案 (e,e)
解析 设P(x0,y0),∵y=xlnx,∴y′=lnx+x·
=1+lnx.∴k=1+lnx0.又k=2,∴1+lnx0=2,∴x0=e,y0=elne=e.∴点P的坐标是(e,e).
命题角度3 求参数的值
例 4 已知f(x)=lnx,g(x)=
x2+mx+
(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f
(1)),则m的值为( )
A.-1B.-3C.-4D.-2
解析 ∵f′(x)=
∴直线l的斜率为k=f′
(1)=1,
又f
(1)=0,
∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=
x
+mx0+
,m<0,于是解得m=-2.故选D.
求解曲线切线方程应注意的问题
(1)对于曲线的切线方程的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式,求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.
(2)对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的切点,进而选择相应的方法求解.
核心规律
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;
[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即[f(x0)]′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
满分策略
1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)′=axlna混淆.
2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点.
3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.
板块三 启智培优·
破译高考
易错警示系列3——求曲线的切线方程考虑不全面致错
[2018·
浙江杭州质检]若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+
x-9都相切,则a等于( )
A.-1或-
B.-1或
C.-
或-
D.-
或7
错因分析
(1)审题不仔细,未对(1,0)的位置进行判断,误认为(1,0)是切点;
(2)当所给点不是切点时,不知所措,无法与导数的几何意义联系.
解析 ∵y=x3,∴y′=3x2.
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x
),
则在该点处的切线斜率为k=3x
,所以切线方程为:
y-x
=3x
(x-x0),即y=3x
x-2x
又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=
当x0=0时,由y=0与y=ax2+
x-9相切可得a=-
当x0=
时,由y=
x-
与y=ax2+
x-9相切,得a=-1.
综上,a=-1或a=-
.故选A.
答题启示 1求曲线的切线方程,首先确定已知点是否为切点是求解的关键,分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.
2求解切线问题时,无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所在.
跟踪训练
山西师大附中质检]已知曲线y=
x3+
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解
(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′
=4.
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=
与过点P(2,4)的切线相切于点A
,则切线的斜率为y′
=x
所以切线方程为y-
(x-x0),
即y=x
·
因为点P(2,4)在切线上,所以4=2x
即x
-3x
+4=0,所以x
+x
-4x
+4=0,
所以x
(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1.若f(x)=e2xln2x,则f′(x)=( )
A.e2xln2x+
B.e2xln2x+
C.2e2xln2x+
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- 届高三 数学 一轮 复习 讲义 课时 作业 10 导数 概念 运算