实变函数期末练习题课案文档格式.docx
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实变函数期末练习题课案文档格式.docx
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是可测函数
是可测函数;
(D)若
则
可测
5、设f(x)是
上有界变差函数,则下面不成立的是()
在
上有界(B)
上几乎处处存在导数
上L可积(D)
二.填空题
1、
_________
2、设
上有理点全体,则
=______,
=______.
3、设
中点集,如果对任一点集
都_________________________________,则称
可测的
4、
可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设
为
上的有限函数,如果对于
的一切分划,使_____________________________________,则称
上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;
若不成立,则举反例说明.
1、设
,若E是稠密集,则
是无处稠密集。
2、若
,则
一定是可数集.
3、若
是可测函数,则
必是可测函数
4.设
在可测集
上可积分,若
四、解答题
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
考生答题不得超过此线
2、求
五、证明题.
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
.
上的实值连续函数,则对于任意常数
是闭集。
3、在
上的任一有界变差函数
都可以表示为两个增函数之差。
上可积,
上
有限的函数,若对任意
,存在闭子集
,使
上连续,且
,证明:
上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理)
练习2
一.单项选择题
1.设
是两集合,则
=()
(A)
(B)
(C)
2.下列说法不正确的是()
的任一领域内都有
中无穷多个点,则
的聚点
(B)
的任一领域内至少有一个
中异于
的点,则
(C)存在
中点列
(D)内点必是聚点
3.下列断言()是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;
(B)任意个闭集的交是闭集;
(C)任意个闭集的并是闭集;
(D)以上都不对;
4.下列断言中()是错误的。
(A)零测集是可测集;
(B)可数个零测集的并是零测集;
(C)任意个零测集的并是零测集;
(D)零测集的任意子集是可测集;
5.若
,则下列断言()是正确的
可积
可积;
(B)
(D)
_________。
为Cantor集,则
,
_____,
=________。
是一列可测集,则
4、鲁津定理:
__________________________________________
上的有限函数,如果_________________则称
上的绝对连续函数。
三.下列命题是否成立?
若不成立,则说明原因或举出反例.1、由于
,故不存在使
之间
对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
3、
收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四.解答题
2、求极限
五.证明题
1.1、设f(x)是
上的实值连续函数,则对任意常数c,
是一开集.
2.设
使
,则E是可测集。
3.在
4.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
收敛于
。
5.设
上可积,则对任何
,必存在
上的连续函数
练习3
,则()
上有理点全体,则下列各式不成立的()
=[0,1](D)
3、下列说法不正确的是()
(A)若
(B)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集
(C)可测集的任何子集都可测
(D)凡开集、闭集皆可测
是一列可测集,
,且
,则有()
(D)以上都不对
上绝对连续函数,则下面不成立的()
上的一致连续函数(B)
上处处可导
上L可积(D)
是有界变差函数
1、设集合
=_______。
都有_________,则称
4、叶果洛夫定理:
上可测,则
上可积的充要条件是|
|在
上可积.(填“充分”,“必要”,“充要”)
1、任意多个开集之交集仍为开集。
2、求极限
1、试证
2、设f(x)是
是可测集
的非负可积函数,
的可测函数,且
也是
上的可积函数。
上积分确定,且
于
也积分确定,且
5、设在
而
成立,
则有
练习4
1.设P为Cantor集,则
0(B)
3.设
可积,则下面不成立的是()
上可测(B)
上a.e.有限
上有界(D)
4.设
上的有界变差函数,则下面不成立的()
可积(B)
可积(D)
上绝对连续
二.填空题(3分×
5=15分)
________。
若
则
是闭集;
若
是__集;
是______集.
4、叙述鲁津定理:
的一切划分,使成一有界数集,则称
若不成立,则说明原因或举出反例.
1、A为可数集,B为至多可数集,则A
B是可数集.
,则
2.(6分)设
3.设
为E上可积函数列,
.于E,且
,k为常数,则
在E上可积.
5.试用Fatou引理证明Levi定理.
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