高中数学 必修4讲义第一章 12 121 第一课时 三角函数的定义与公式一 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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一三象限正,二四象限负.
简记口诀:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
[点睛] 诱导公式一的实质是:
终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若α=β+720°
,则cosα=cosβ.( )
(2)若sinα=sinβ,则α=β.( )
(3)已知α是三角形的内角,则必有sinα>
0.( )
答案:
(1)√
(2)×
(3)√
2.若sinα<
0,tanα>
0,则α在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
C
3.已知角α的终边与单位圆的交点P
,则sinα+cosα=( )
A.
B.-
C.
D.-
B
4.sin
=________,cos
=________.
-
三角函数的定义及应用
[典例] 设a<
0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )
B.-
[解析] ∵点P在单位圆上,则|OP|=1.
即
=1,解得a=±
.
∵a<
0,∴a=-
∴P点的坐标为
∴sinα=-
,cosα=
∴sinα+2cosα=-
+2×
=
[答案] A
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
法一:
先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
法二:
在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>
0).则sinα=
.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
[活学活用]
1.如果α的终边过点P(2sin30°
,-2cos30°
),那么sinα的值等于( )
C.-
D.-
解析:
选C 由题意知P(1,-
),
所以r=
=2,
所以sinα=-
2.已知角α的终边过点P(12,a),且tanα=
,求sinα+cosα的值.
解:
根据三角函数的定义,tanα=
,
∴a=5,∴P(12,5).这时r=13,
∴sinα=
,从而sinα+cosα=
三角函数值符号的运用
[典例]
(1)若角θ同时满足sinθ<
0且tanθ<
0,则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限B.第二象限
(2)设α是第三象限角,且
=-cos
,则
所在象限是( )
[解析]
(1)由sinθ<
0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tanθ<
0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
(2)∵α是第三象限角,
∴2kπ+π<
α<
2kπ+
,k∈Z.
∴kπ+
<
kπ+
∴
在第二、四象限.
又∵
,∴cos
0.
在第二象限.
[答案]
(1)D
(2)B
对于已知角α,判断α的相应三角函数值的符号问题,常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
1.设△ABC的三个内角为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A.tanA与cosBB.cosB与sinC
C.sinC与tanAD.tan
与sinC
选D ∵0<A<π,∴0<
<
,∴tan
>0;
又∵0<C<π,∴sinC>0.
2.若角α是第二象限角,则点P(sinα,cosα)在第________象限.
∵α为第二象限角,
∴sinα>0,cosα<0.
∴P(sinα,cosα)位于第四象限.
四
诱导公式一的应用
[典例] 计算下列各式的值:
(1)sin(-1395°
)cos1110°
+cos(-1020°
)sin750°
;
(2)sin
+cos
·
tan4π.
[解]
(1)原式=sin(-4×
360°
+45°
)cos(3×
+30°
)+cos(-3×
+60°
)sin(2×
)
=sin45°
cos30°
+cos60°
sin30°
×
+
(2)原式=sin
tan(4π+0)=sin
0=
利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤
求下列各式的值:
(1)sin
+tan
(2)sin810°
+cos360°
-tan1125°
=sin
+1.
=sin(2×
+90°
)+cos(360°
+0°
)-tan(3×
=sin90°
+cos0°
-tan45°
=1+1-1
=1.
层级一 学业水平达标
1.若α=
,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
B.
D.
选B 设P(x,y),∵角α=
在第二象限,
∴x=-
,y=
∴P
2.若角α的终边上一点的坐标为(1,-1),则cosα为( )
A.1B.-1
选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1,-1),它与原点的距离r=
,∴cosα=
3.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<
0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都可能
选B ∵sinαcosβ<
0,α,β∈(0,π),
∴sinα>
0,cosβ<
0,∴β为钝角.
4.代数式sin120°
cos210°
的值为( )
A.-
B.
选A 利用三角函数定义易得sin120°
=-
,∴sin120°
,故选A.
5.若角α的终边在直线y=-2x上,则sinα等于( )
A.±
B.±
C.±
D.±
选C 在α的终边上任取一点(-1,2),则r=
,所以sinα=
.或者取P(1,-2),则r=
6.tan
tan
=tan
7.已知角α的终边过点P(5,a),且tanα=-
,则sinα+cosα=________.
∵tanα=
,∴a=-12.
∴r=
=13.
∴sinα+cosα=-
-
8.若角α的终边落在直线x+y=0上,则
当α在第二象限时,
=0;
当α在第四象限时,
=0.
综上,
9.求下列三角函数值:
(1)cos(-1050°
);
(2)tan
(3)sin
(1)∵-1050°
=-3×
∴cos(-1050°
)=cos(-3×
)=cos30°
(2)∵
=3×
2π+
∴tan
(3)∵-
=-4×
∴sin
10.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-
,求cosα和tanα的值.
设点M的坐标为(x1,y1).
由题意,可知sinα=-
,即y1=-
∵点M在圆x2+y2=1上,
∴x
+y
=1,
即x
2=1,
解得x1=
或x2=-
∴cosα=
或cosα=-
∴tanα=-1或tanα=1.
层级二 应试能力达标
1.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>
0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
选A 由cosα≤0,sinα>
0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有
即-2<
a≤3.
2.给出下列函数值:
①sin(-1000°
②cos
③tan2,其中符号为负的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
选B ∵-1000°
+80°
∴-1000°
是第一象限角,则sin(-1000°
)>
0;
∵-
是第四象限角,∴cos
>
∵2rad=2×
57°
18′=114°
36′是第二象限角,∴tan2<
0.故选B.
3.若tanx<
0,且sinx-cosx<
0,则角x的终边在( )
选D ∵tanx<
0,∴角x的终边在第二、四象限,又sinx-cosx<
0,∴角x的终边在第四象限.
4.已知角α的终边经过点P(m,-6),且cosα=-
,则m=( )
A.8B.-8
C.4D.-4
选B 由题意r=|OP|
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