统计学三大分布与正态分布的关系Word文档格式.docx
- 文档编号:13370451
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:535.80KB
统计学三大分布与正态分布的关系Word文档格式.docx
《统计学三大分布与正态分布的关系Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《统计学三大分布与正态分布的关系Word文档格式.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
t分布的密度函数图
t分布具有如下一些性质:
性质1:
fn(t)是偶函数,
,fn(t)
1
(t)7re
性质2:
设T~t(n),对给定的实数(0
1),称满足条件;
P{T
(n)}t(n)f(X)dX
布的水平的上侧分位数.
t分布的上分位数
1.3F分布
的点t(n)为t(n)分
由密度函数f(x)
的对称性,可得ti(n)t(n).类似地,我们
可以给出t分布的双侧分位数
P{|T|t/2(n)}tf(x)dx
显然有P{Tt/2(n)}-;
P{T
t(n)f(x)dx
/2\丿
t/2(n)}-
对不同的与n,t分布的双侧分位数可从附
F分布是随机变量的另一种重要的小样本分布,应用也相当广泛.它可用来
检验两个总体的方差是否相等,多个总体的均值是否相等.F分布还是方差分析和正交设计的理论基础.
设X~2(n),Y〜2(m),X,Y相互独立,令则称统计量F山服
Y/m
从为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布.
F分布的密度函数图
F分布具有如下一些性质:
性质1:
若F~F(n,m),则1/F-F(m,n);
性质3:
设F~F(n,m),对给定的实数
性质2:
若X~t(n),则X2~F(1,n).
(01),称满足条件;
■h_
尺僦-翱「1)
的点F(n,m)为F(n,m)分布的水平的上侧分位数.
F分布的上分位数
F分布的上侧分位数的可自附表查得.
性质4:
F(m,n)冷m).此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上
侧分位数.
1.4正态分布
正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布,是许多统计方法的理论基
础.高斯(GausS在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布,所以正态分布又称为高斯分布.正态分布有两个参数,卩和(T,决定了正态分布的位置和形态.为了应用方便,常将一般的正态变量X通过u变换转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为卩=0(T=1勺标准正态分布N(0,1).
正态分布的密度函数和分布函数
若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为
正态分布的密度函数图
特征1正态曲线(normalcurve)在横轴上方均数处最高;
特征2:
正态分布以均数为中心,左右对称;
用(0,1)表示标准正态分布.
例数占总例数的百分数(频数分布)或观察值落在该区间的概率.正态曲线
下一定区间的面积可以通过标准正态分布函数表求得。
对于正态或近似正
态分布的资料,已知均数和标准差,就可对其频数分布作出概约估计
2.12分布收敛于正态分布
所以Xn>
/2ny
因为IfY(y)dyIfx(x)dx
■51(221^(n阿y)
m1
12m
历(号)2"
/2n0即e
令n2m,利用Stirling公式:
m!
J2mmmemem,0
则上式=(2m)m1(1
V4m(m)2mVm
/c\m1z"
j1Xm1(m,/my)师m1)!
2m(2m)(1e
所以2分布的极限分布为正态分布.
F面用MATLAB来验证上面结论,首先定义2(n)分布函数和相应的正态分布
N(n,2n),再依次增大n,比较两者关系:
⑷
从上面三个图形可以看出,n越大,2(n)分布密度函数与正态分布
N(n,2n)度函
数越接近,这就和所证结论相符合.
2.21分布收敛于标准正态分布
证法1:
由于自由度为n的t分布的概率密度函数为
n1
(丁)X2口p(x;
n)=L2n(1-)2
X◎n
因此
(1)式等价于limp(X;
n)二
n
7re
x2/2
先利用Stirling公式:
(2mmme
em,0
证明lim
事实上,
(2丿1
2
利用函数的性质
旦
妬
(2)
2k1)
n1n3n2k1(卫
2.22(2
厂n2n4n2k2n2k2
vn.()
2222
(n1)(n3)......(n2k1)(n/
27n(n2)(n4)......(n2k2)(n?
当n2k时
1)2k1
e
lim(1
F面用MATLAB来验证上面结论,首先定义
t(n)分布函数和相应的正态分布
从上面三个图形可以看出,n越大,t(n)分布密度函数与正态分布N(0,旦)度函
n2
2.3F分布收敛于标准正态分布
所以F分布的极限分布是正态分布.
MATLAB来验证上面结论,首先定义F(m,n)分布函数和相应的正态分
从上面三个图形可以看出,n越大,F(m,n)分布密度函数与正态分布
N代‘mn詈肖度函数越接近,这就和所证结论相符合
在实际应用中我们往往在取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断,为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布,正态
分布、2(n)分布、t分布、F分布是统计学最基本的四种分布,而2(n)分布、
t分布和F分布又都收敛于正态分布,可见正态分布在统计学中的地位.实际上,
证明2(n)分布、t分布和F分布收敛于正态分布的方法很多,本质上都是应用
了大数定理和中心极限定理.既然三大抽样分布都收敛于正态分布,则当样本容
量很大时,就可以用正态分布来近似三大抽样分布.本文主要还利用了计算机软件来验证数学上的理论证明,在现代数学学习中,我们是离不开计算机的,因
此我们也应多学习一些软件的使用.
参考文献:
[1]XX学士学位论文.统计学三大分布与正态分布的差异
[2]范玉妹,汪飞星,王萍,李娜.概率论与数理统计.
.扬州大学.2010
机械工业出版社.2007
[3]宗序平,赵俊,陶伟.统计学上三大分布推导方法
.2009
[4]王福昌,曹慧荣.2(n)分布、t分布和F分布的近似计算.2008
⑸李贤平,沈崇圣,陈予毅.概率论与数理统计.复旦大学出版社.2005
2(n)分布的上分位数1.2t分布
t分布也称为学生分布,是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'
笔名
首次发表的,这个分布在数理统计中也占有重要的位置
X
设X〜N(0,1),Y〜2(n),X,Y相互独立,,则称统计量T
VY/n
服从自由度为n的t分布,记为T~t(n).
t分布的密度函数为
g"
(1
(;
)后
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 统计学 分布 正态分布 关系
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)