新课标高中数学导数和应用教材复习题答案.docx
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新课标高中数学导数和应用教材复习题答案
第一章导数及其应用
1.1变化率与导数
练习(P6)
在第3h和5h时,原油温度的瞬时变化率分别为和3.它说明在第3h附近,原油温度大约以1℃/h的速度下降;在第5h时,原油温度大约以3℃/h的速率上升.
练习(P8)
函数在附近单调递增,在附近单调递增.并且,函数在附近比在附近增加得慢.说明:
体会“以直代曲”的思想.
练习(P9)
函数的图象为
根据图象,估算出,.
说明:
如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.
习题1.1A组(P10)
1、在处,虽然,然而.
所以,企业甲比企业乙治理的效率高.
说明:
平均变化率的应用,体会平均变化率的涵.
2、,所以,.
这说明运动员在s附近以3.3m/s的速度下降.
3、物体在第5s的瞬时速度就是函数在时的导数.
,所以,.
因此,物体在第5s时的瞬时速度为10m/s,它在第5s的动能J.
4、设车轮转动的角度为,时间为,则.
由题意可知,当时,.所以,于是.
车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度就是函数在时的导数.
,所以.
因此,车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为.
说明:
第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知,函数在处切线的斜率大于零,所以函数在附近单调递增.同理可得,函数在,,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减.说明:
“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数的图象如图
(1)所示;第二个函数的导数恒大于零,并且随着的增加,的值也在增加;对于第三个函数,当小于零时,小于零,当大于零时,大于零,并且随着的增加,的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明:
本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题1.1B组(P11)
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.
2、
说明:
由给出的的信息获得的相关信息,并据此画出的图象的大致形状.这个过程基于对导数涵的了解,以及数与形之间的相互转换.
3、由
(1)的题意可知,函数的图象在点处的切线斜率为,所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象.同理可得
(2)(3)某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.
说明:
这是一个综合性问题,包含了对导数涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思想的领悟.本题的答案不唯一.
1.2导数的计算
练习(P18)
1、,所以,,.
2、
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6).
习题1.2A组(P18)
1、,所以,.
2、.
3、.
4、
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6).
5、.由有,解得.
6、
(1);
(2).
7、.
8、
(1)氨气的散发速度.
(2),它表示氨气在第7天左右时,以25.5克/天的速率减少.
习题1.2B组(P19)
1、
(1)
(2)当越来越小时,就越来越逼近函数.
(3)的导数为.
2、当时,.所以函数图象与轴交于点.
,所以.
所以,曲线在点处的切线的方程为.
2、.所以,上午6:
00时潮水的速度为m/h;上午9:
00时潮水的速度为m/h;中午12:
00时潮水的速度为m/h;下午6:
00时潮水的速度为m/h.
1.3导数在研究函数中的应用
练习(P26)
1、
(1)因为,所以.
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
(2)因为,所以.
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
(3)因为,所以.
当,即时,函数单调递增;
当,即或时,函数单调递减.
(4)因为,所以.
当,即或时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
注:
图象形状不唯一.
2、
3、因为,所以.
(1)当时,
,即时,函数单调递增;
,即时,函数单调递减.
(2)当时,
,即时,函数单调递增;
,即时,函数单调递减.
4、证明:
因为,所以.
当时,,
因此函数在是减函数.
练习(P29)
1、是函数的极值点,
其中是函数的极大值点,是函数的极小值点.
2、
(1)因为,所以.
令,得.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
所以,当时,有极小值,并且极小值为.
(2)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即或时;②当,即时.
当变化时,,变化情况如下表:
3
+
0
-
0
+
单调递增
54
单调递减
单调递增
因此,当时,有极大值,并且极大值为54;
当时,有极小值,并且极小值为.
(3)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即时;②当,即或时.
当变化时,,变化情况如下表:
2
-
0
+
0
-
单调递减
单调递增
22
单调递减
因此,当时,有极小值,并且极小值为;
当时,有极大值,并且极大值为22
(4)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即时;②当,即或时.
当变化时,,变化情况如下表:
1
-
0
+
0
-
单调递减
单调递增
2
单调递减
因此,当时,有极小值,并且极小值为;
当时,有极大值,并且极大值为2
练习(P31)
(1)在上,当时,有极小值,并且极小值为.
又由于,.
因此,函数在上的最大值是20、最小值是.
(2)在上,当时,有极大值,并且极大值为;
当时,有极小值,并且极小值为;
又由于,.
因此,函数在上的最大值是54、最小值是.
(3)在上,当时,有极大值,并且极大值为.
又由于,.
因此,函数在上的最大值是22、最小值是.
(4)在上,函数无极值.
因为,.
因此,函数在上的最大值是、最小值是.
习题1.3A组(P31)
1、
(1)因为,所以.
因此,函数是单调递减函数.
(2)因为,,所以,.
因此,函数在上是单调递增函数.
(3)因为,所以.
因此,函数是单调递减函数.
(4)因为,所以.
因此,函数是单调递增函数.
2、
(1)因为,所以.
当,即时,函数单调递增.
当,即时,函数单调递减.
(2)因为,所以.
当,即时,函数单调递增.
当,即时,函数单调递减.
(3)因为,所以.
因此,函数是单调递增函数.
(4)因为,所以.
当,即或时,函数单调递增.
当,即时,函数单调递减.
3、
(1)图略.
(2)加速度等于0.
4、
(1)在处,导函数有极大值;
(2)在和处,导函数有极小值;
(3)在处,函数有极大值;
(4)在处,函数有极小值.
5、
(1)因为,所以.
令,得.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,时,有极小值,并且极小值为.
(2)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即或时;②当,即时.
当变化时,,变化情况如下表:
2
+
0
-
0
+
单调递增
16
单调递减
单调递增
因此,当时,有极大值,并且极大值为16;
当时,有极小值,并且极小值为.
(3)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即或时;②当,即时.
当变化时,,变化情况如下表:
2
+
0
-
0
+
单调递增
22
单调递减
单调递增
因此,当时,有极大值,并且极大值为22;
当时,有极小值,并且极小值为.
(4)因为,所以.
令,得.
下面分两种情况讨论:
①当,即或时;②当,即时.
当变化时,,变化情况如下表:
4
-
0
+
0
-
单调递减
单调递增
128
单调递减
因此,当时,有极小值,并且极小值为;
当时,有极大值,并且极大值为128.
6、
(1)在上,当时,函数有极小值,并且极小值为.
由于,,
所以,函数在上的最大值和最小值分别为9,.
(2)在上,当时,函数有极大值,并且极大值为16;
当时,函数有极小值,并且极小值为.
由于,,
所以,函数在上的最大值和最小值分别为16,.
(3)在上,函数在上无极值.
由于,,
所以,函数在上的最大值和最小值分别为,.
(4)当时,有极大值,并且极大值为128..
由于,,
所以,函数在上的最大值和最小值分别为128,.
习题3.3B组(P32)
1、
(1)证明:
设,.
因为,
所以在单调递减
因此,,即,.图略
(2)证明:
设,.
因为,
所以,当时,,单调递增,
;
当时,,单调递减,
;
又.因此,,.图略
(3)证明:
设,.
因为,
所以,当时,,单调递增,
;
当时,,单调递减,
;
综上,,.图略
(4)证明:
设,.
因为,
所以,当时,,单调递增,
;
当时,,单调递减,
;
当时,显然.因此,.
由(3)可知,,.
.综上,,图略
2、
(1)函数的图象大致是个“双峰”图象,类似“”或“”的形状.若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单调区间.
(2)因为,所以.
下面分类讨论:
当时,分和两种情形:
①当,且时,
设方程的两根分别为,且,
当,即或时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
当,且时,
此时,函数单调递增.
②当,且时,
设方程的两根分别为,且,
当,即时,函数单调递增;
当,即或时,函数单调递减.
当,且时,
此时,函数单调递减
1.4生活中的优化问题举例
习题1.4A组(P37)
1、设两段铁丝的长度分别为,,则这两个正方形的边长分别为,,两个正方形的面积和为,.
令,即,.
当时,;当时,.
因此,是函数的极小值点,也是最小值点.
所以,当两段铁丝的长度分别是时,两个正方形的面积和最小.
2、如图所示,由于在边长为的正方形铁片的四角截去
四个边长为的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无
盖方盒的底面为正方形,且边长为,高为.
(1)无盖方盒的容积,.
(2)因为,
所以.
令,得(舍去),或.
当时,;当时,.
因此,是函数的极大值点,也是最大值点.
所以,当时,无盖方盒的容积最大.
3、如图,设圆柱的高为,底半径为,
则表面积
由,得.
因此,,.
令,解得.
当时,;
当时,.
因此,是函数的极小值点,也是最小值点.此时,.
所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.
4、证明:
由于,所以.
令,得,
可以得到,是函数的极小值点,也是最小值点.
这个结果说明,用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的,
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为m,则半圆的半径为m
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