中考数学专题指导4新定义概念问题Word文档下载推荐.docx
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(2)∵s,t都是“相异数”,s=100x+32,t=150+y,
∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷
111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷
111=y+6.
∵F(t)+F(s)=18,
∴x+5+y+6=x+y+11=18,
∴x+y=7.
∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y都是正整数,
∴
或
.
∵s是“相异数”,
∴x≠2,x≠3.
∵t是“相异数”,
∴y≠1,y≠5.
,
∴k的最大值为
【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:
(1)根据F(n)的定义式,求出F(243)、F(617)的值;
(2)根据s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,找出关于x、y的二元一次方程.
方法归纳总结:
对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中,充分理解,结合相应知识,才能顺利解答.
考点2:
定义新运算
(2017广西百色)阅读理解:
用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法.
(1)二次项系数2=1×
2;
(2)常数项﹣3=﹣1×
3=1×
(﹣3),验算:
“交叉相乘之和”;
1×
3+2×
(﹣1)=11×
(﹣1)+2×
3=51×
(﹣3)+2×
1=﹣11×
1+2×
(﹣3)=﹣5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×
1=﹣1,等于一次项系数﹣1.
即:
(x+1)(2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3,则2x2﹣x﹣3=(x+1)(2x﹣3).
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:
3x2+5x﹣12= (x+3)(3x﹣4) .
【考点】57:
因式分解﹣十字相乘法等.
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4)即可.
3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4).
故答案为:
(x+3)(3x﹣4)
【变式训练】:
(2017日照)阅读材料:
在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:
d=
例如:
求点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离.
解:
由直线4x+3y﹣3=0知,A=4,B=3,C=﹣3,
∴点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离为d=
=
根据以上材料,解决下列问题:
问题1:
点P1(3,4)到直线y=﹣
x+
的距离为 4 ;
问题2:
已知:
⊙C是以点C(2,1)为圆心,1为半径的圆,⊙C与直线y=﹣
x+b相切,求实数b的值;
问题3:
如图,设点P为问题2中⊙C上的任意一点,点A,B为直线3x+4y+5=0上的两点,且AB=2,请求出S△ABP的最大值和最小值.
【考点】FI:
一次函数综合题.
(1)根据点到直线的距离公式就是即可;
(2)根据点到直线的距离公式,列出方程即可解决问题.
(3)求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离,求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题.
(1)点P1(3,4)到直线3x+4y﹣5=0的距离d=
=4,
故答案为4.
(2)∵⊙C与直线y=﹣
x+b相切,⊙C的半径为1,
∴C(2,1)到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1,
=1,
解得b=5或15.
(3)点C(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离d=
=3,
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4,最小值为2,
∴S△ABP的最大值=
×
2×
4=4,S△ABP的最小值=
2=2.
理解新运算法则是解题的关键.
考点3:
定义新概念
经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°
,则∠ACB的度数为 113°
或92°
.
【考点】S7:
相似三角形的性质;
KH:
等腰三角形的性质.
【分析】由△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,推出∠ADC>∠A,即AC≠CD,分两种情形讨论①当AC=AD时,②当DA=DC时,分别求解即可.
∵△BCD∽△BAC,
∴∠BCD=∠A=46°
∵△ACD是等腰三角形,∵∠ADC>∠BCD,
∴∠ADC>∠A,即AC≠CD,
①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=
=67°
∴∠ACB=67°
+46°
=113°
②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°
∴∠ACB=46°
=92°
故答案为113°
(2017山东临沂)在平面直角坐标系中,如果点P坐标为(m,n),向量
可以用点P的坐标表示为
=(m,n).
=(x1,y1),
=(x2,y2),如果x1•x2+y1•y2=0,那么
与
互相垂直,下列四组向量:
①
=(2,1),
=(﹣1,2);
②
=(cos30°
,tan45°
),
=(1,sin60°
);
③
=(
﹣
,﹣2),
+
④
=(π0,2),
=(2,﹣1).
其中互相垂直的是 ①③④ (填上所有正确答案的符号).
【分析】根据向量垂直的定义进行解答.
①因为2×
(﹣1)+1×
2=0,所以
互相垂直;
②因为cos30°
1+tan45°
•sin60°
1+1×
≠0,所以
不互相垂直;
③因为(
)(
)+(﹣2)×
=3﹣2﹣1=0,所以
④因为π0×
2+2×
(﹣1)=2﹣2=0,所以
互相垂直.
综上所述,①③④互相垂直.
故答案是:
①③④.
【点评】本题考查了平面向量,零指数幂以及解直角三角形.解题的关键是掌握向量垂直的定义.
解题关键是理解新定义,再结合已学知识解答.
考点4:
定义新法则
(2017内蒙古赤峰)如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=
,则
S△ABC=
BC×
AD=
ACsin∠C=
absin∠C,
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:
如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:
(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°
,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF和DE2.
S△DEF=
EF×
DFsin∠F= 6
;
DE2=EF2+DF2﹣2EF×
DFcos∠F= 49 .
(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°
,△ABC'
、△BCA'
、△ACB'
分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'
的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:
S1+S2=S3+S4.
【考点】KY:
三角形综合题.
(1)直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论;
(2)方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式,再利用等边三角形的性质即可得出结论;
方法2、先用正弦定理得出S1,S2,S3,S4,最后用余弦定理即可得出结论.
(1)在△DEF中,∠F=60°
,∠D、∠E的对边分别是3和8,
∴EF=3,DF=8,
∴S△DEF=
DFsin∠F=
3×
8×
sin60°
=6
DFcos∠F=32+82﹣2×
cos60°
=49,
6
,49;
(2)证明:
方法1,∵∠ACB=60°
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°
=AC2+BC2﹣AC•BC,
两边同时乘以
得,
AB2sin60°
AC2sin60°
BC2sin60°
AC•BCsin60°
∵△ABC'
,△BCA'
,△ACB'
是等边三角形,
∴S1=
,S2=
AB2sin60°
,S3=
,S4=
∴S2=S4+S3﹣S1,
∴S1+S2=S3+S4,
方法2、令∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,
absin∠C=
absin60°
ab
∴S2=
c•c•sin60°
c2,S3=
a•a•sin60°
a2,S4=
b•b•sin60°
b2,
∴S1+S2=
(ab+c2),S3+S4=
(a2+b2),
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°
∴a2+b2=c2+ab,
∴S1+S2=S3+S4.
(2017湖北随州)在平面直角坐标系中,我们
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