数学文高考试题分类汇编B单元 函数与导数Word文档下载推荐.docx
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(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.
21.解:
(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.
(2)F(n)=
(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0;
当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;
当n=100时,g(n)=11,即g(n)=
1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,
同理有f(n)=
由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,
所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.
当n=9时,p(9)=0.
当n=90时,p(90)===.
当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.
又<
,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.
3.[2014·
山东卷]函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2)B.(0,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
3.C
B2反函数
5.[2014·
全国卷]函数y=ln(+1)(x>-1)的反函数是( )
A.y=(1-ex)3(x>-1)
B.y=(ex-1)3(x>-1)
C.y=(1-ex)3(x∈R)
D.y=(ex-1)3(x∈R)
5.D
B3函数的单调性与最值
2.B
4.、[2014·
湖南卷]下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3D.f(x)=2-x
4.A
19.、、、[2014·
江苏卷]已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:
f(x)是R上的偶函数.
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
(3)已知正数a满足:
存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<
a(-x+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.
19.解:
(1)证明:
因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x),
所以f(x)是R上的偶函数.
(2)由条件知m(ex+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立.
令t=ex(x>
0),则t>
1,所以m≤-=
-对任意t>
1成立.
因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,
当且仅当t=2,即x=ln2时等号成立.
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)=ex+-a(-x3+3x),则g′(x)=ex-+3a(x2-1).
当x≥1时,ex->
0,x2-1≥0.又a>
0,故g′(x)>
0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调递增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g
(1)=e+e-1-2a.
由于存在x0∈[1,+∞),使ex0+e-x0-a(-x+3x0)<
0成立,当且仅当最小值g
(1)<
0,
故e+e-1-2a<
0,即a>
.
令函数h(x)=x-(e-1)lnx-1,则h′(x)=1-.令h′(x)=0,得x=e-1.
当x∈(0,e-1)时,h′(x)<
0,故h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数;
当x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>
0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数.
所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).
注意到h
(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<
h
(1)=0;
当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,
h(x)<
h(e)=0.
所以h(x)<
0对任意的x∈(1,e)成立.
故①当a∈⊆(1,e)时,h(a)<
即a-1<
(e-1)lna,从而ea-1<
ae-1;
②当a=e时,ea-1=ae-1;
③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>
h(e)=0,即a-1>
(e-1)lna,故ea-1>
ae-1.
综上所述,当a∈时,ea-1<
当a=e时,ea-1=ae-1;
当a∈(e,+∞)时,ea-1>
15.、、[2014·
四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:
对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∈/B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)
15.①③④
21.、[2014·
四川卷]已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f
(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:
e-2<a<1.
(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,所以g′(x)=ex-2a.
当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
当a≤时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g
(1)=e-2a-b;
当<a<时,令g′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1),
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,
于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;
当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g
(1)=e-2a-b.
(2)证明:
设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知,
f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.
故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
由
(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;
当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.
所以<a<.
此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.
因此x1∈(0,ln(2a)),x2∈(ln(2a),1),必有
g(0)=1-b>0,g
(1)=e-2a-b>0.
由f
(1)=0有a+b=e-1<
2,有
g(0)=a-e+2>
0,g
(1)=1-a>
0.
解得e-2<a<1.
所以,函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.
B4函数的奇偶性与周期性
4.[2014·
重庆卷]下列函数为偶函数的是( )
A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x
4.D
14.
广东卷]下列函数为奇函数的是( )
A.2x-B.x3sinx
C.2cosx+1D.x2+2x
5.A
9.、[2014·
湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}
9.D
15.[2014·
湖南卷]若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
15.-
0成立
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