《概率论与数理统计》期末考试试题及答案.docx
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《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
(1)
(3)
设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生,则下列结论正确的是()
(A)P(A)
P(AA)
(B)P(A)
P(AJ
P(A2)1
(C)P(A)
P(A1A2)
(D)P(A)
P(AJ
P(A2)
1
(4)
设随机变量
X~N(
3,1),Y〜N(2,
1),且
X与
Y相互独
立,令Z
X2Y
7,贝yZ~(
).
(A)N(0,5);(B)N(0,3);(C)N(0,46);(D)N(0,54).
(5)设X1,X2,未知,贝U(
n
(A)Xi2
i1
Xn为正态总体N(,
)是一个统计量。
(B)
(C)X
(D)
(6)设样本Xi,X2,
为Ho:
(A)U
(C)
2)的一个简单随机样本,其中2,
n
(Xi)
i1
Xn来自总体X~N(,
2),2
未知。
统计假设
0已知)
H1:
(B)
则所用统计量为(
(n1)S2
""2~
(D)
12(Xi
i1
)2
二、填空题(每空3分共15分)
xC
1.P(B)2.f(x)xe%,
0x0
3e
3.
4.t(9)
(1)如果P(A0,P(B)0,P(AB)
P(A),
则P(BA)
(2)设随机变量X的分布函数为
F(x):
1(1
x)ex,
x0,
x0.
则X的密度函数f(x)
P(X2)
(4)设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1),X1,X2,X9是来自总体X的
样本,丫1,丫2,丫9是来自总体丫的样本,则统计量
服从分布(要求给出自由度)。
三、(6分)设A,B相互独立,P(A)
解:
0.88=P(AB)P(A)P(B)
=P(A)P(B)P(A)P(B)
0.7,P(AB)0.88,求P(AB).
P(AB)
(因为A,B相互独立)……..2分
=0.7P(B)0.7P(B)3分
贝UP(B)0.6.4分
P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)
0.70.70.60.286分
四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T,各电梯在运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解:
用X表示时刻T运行的电梯数,则X~b(4,0.7).2分
所求概率PX11PX04分
1C°(0.7)°(10.7)4=0.9919.6分
求随机变量丫=2X+1的概率密度。
解:
因为y2x1是单调可导的,故可用公式法计算.1分
当X0时,丫1.2分
由y2x1,得x-~-,x'—4分
22
从而丫的密度函数为fY(y)
1
..5分
..6分
六、(8分)已知随机变量X和丫的概率分布为
X
1
0
1
丫
0
1
P
1
1
1
P
1
1
4
2
4
2
2
而且P{XY0}1.
(1)求随机变量X和丫的联合分布;
(2)判断X与丫是否相互独立?
解:
因为PXY01,所以PXY00
224
所以X与丫不相互独立
七、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
12e(3x4y),x0,y0,
f(x,y)
0,其他.
求:
(1)P(0X1,0Y2);
(2)求X的边缘密度。
..2分
12
解:
(1)P(0X1,0Y2)dx12e(3x4y)dy
00
.4分
=[1e3][1e8]
(2)fx(x)
12e(3x4y)dy
..6分
3e3xx0
0x0
8分
八、(6分)一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从参数为1的指数分
4
布。
工厂规定,出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元,求工厂出售一台设备净盈利的期望。
114x
.2分
解:
因为X~e(—)得f(x)4ex0
4知
40x0
用丫表示出售一台设备的净盈利
100X1
丫
1003000X1
九、(8分)设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,
而相关系数为0.5,求E(2XY),D(2XY)。
解:
已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5
贝UE(2XY)2EXEY2
(2)26.4分
D(2XY)D(2X)DY2cov(2X,Y).5分
2DXDY4cov(X,Y).6分十、(7分)设供电站供应某地区1000户居民用电,各户用电情况相互独立。
已知每户每日用电量(单位:
度)服从[0,20]上的均匀分布,禾I」用中心极
限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
(所求概率用标准正态分布函数(x)的值表示).
解:
用Xi表示第i户居民的用电量,贝UXi~U[0,20]
2
EXi02010DXi(200)100………2分
2123
1000
则1000户居民的用电量为XXi,由独立同分布中心极限定理
i1
=1
n
L(X「,Xn,)f(Xj
i1
(1)Xi
.2分
其中0未知,求
解:
最大似然函数为
=
(1)3,,Xn)
InL(Xi,,Xn,)nln
(1)In(Xi,x)
为x5,试求的置信水平为95%的置信区间。
(t0.05(100)1.99,
(1,96)0.975)
U——,xU——]
2n2n
即为[4.801,5.199]
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