概率论与数理统计复习提纲.docx
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概率论与数理统计复习提纲
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第一章随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1.样本空间、随机事件
①样本点:
随机试验的每一个可能结果,用
表示;
②样本空间:
样本点的全集,用
表示;
注:
样本空间不唯一.
③随机事件:
样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示;
④必然事件就等于样本空间;不可能事件
是不包含任何样本点的空集;
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2.事件的四种关系
①包含关系:
,事件A发生必有事件B发生;
②等价关系:
,事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A发生;
③互不相容(互斥):
,事件A与事件B一定不会同时发生。
④对立关系(互逆):
,事件
发生事件A必不发生,反之也成立;互逆满足
注:
互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。
)
3.事件的三大运算
①事件的并:
,事件A与事件B至少有一个发生。
若
,则
;
②事件的交:
,事件A与事件B都发生;
③事件的差:
,事件A发生且事件B不发生。
4.事件的运算规律
①交换律:
②结合律:
③分配律:
④德摩根(DeMorgan)定律:
对于n个事件,有
二、随机事件的概率定义和性质
1.公理化定义:
设试验的样本空间为
,对于任一随机事件
都有确定的实值P(A),满足下列性质:
(1)非负性:
(2)规范性:
(3)有限可加性(概率加法公式):
对于k个互不相容事件
,有
.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2.概率的性质
①
②
③若
,则
④
注:
性质的逆命题不一定成立的.如若
则
。
(×)若
,则
。
(×)
三、古典概型的概率计算
古典概型:
若随机试验满足两个条件:
①只有有限个样本点,
②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,
。
典型例题:
设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则
(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为
(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为
四、条件概率及其三大公式
1.条件概率:
2.乘法公式:
3.全概率公式:
若
,则
。
4.贝叶斯公式:
若事件
如全概率公式所述,且
.
五、事件的独立1.定义:
.
推广:
若
相互独立,
2.在
四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。
3.三个事件A,B,C两两独立:
注:
n个事件的两两独立与相互独立的区别。
(相互独立
两两独立,反之不成立。
)
4.伯努利概型:
1.事件的对立与互不相容是等价的。
(X)
2.若
则
。
(X)
3.
。
(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为
。
(∨)
5.n个事件若满足
,则n个事件相互独立。
(X)
6.当
时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。
(∨)
第二章随机变量及其分布
一、随机变量的定义:
设样本空间为
,变量
为定义在
上的单值实值函数,则称
为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1.定义:
设随机变量
,对于任意实数
,函数
称为随机变量
的概率分布函数,简称分布函数。
注:
当
时,
(1)X是离散随机变量,并有概率函数
则有
(2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),则
.
2.分布函数性质:
(1F(x)是单调非减函数,即对于任意x1 ; (2 ;且 ; (3离散随机变量X,F(x)是右连续函数,即 ;连续随机变量X,F(x)在(-∞,+∞)上处处连续。 注: 一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值 ,或可列无穷多个数值 且 ,则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数(分布律). 注: 概率函数pi的性质: 2.几种常见的离散随机变量的分布: (1)超几何分布,X~H(N,M,n), (2)二项分布,X~B(n.,p), 当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。 若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立,则 服从二项分布。 (3)泊松(Poisson)分布, , 四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间 ,有 则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。 注1: 连续随机变量X任取某一确定值的 概率等于0,即 注2: 2.概率密度f(x)的性质: 性质1: 性质2: 注1: 一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注2: 当 时, 且在f(x)的连续点x处,有 3.几种常见的连续随机变量的分布: (1)均匀分布 , (2)指数分布 (3)正态分布 , 1.概率函数与密度函数是同一个概念。 (X) 2.当N充分大时,超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。 (X) 3.设X是随机变量,有 。 (X) 4.若 的密度函数为 = ,则 (X) 第三章随机变量的数字特征 一、期望(或均值) 1.定义: 2.期望的性质: 3.随机变量函数的数学期望 4.计算数学期望的方法 (1)利用数学期望的定义; (2)利用数学期望的性质; 常见的基本方法: 将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望. (3)利用常见分布的期望; 1.方差 注: D(X)=E[X-E(X)]2≥0;它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小),表示X取值越分散(集中)。 2.方差的性质 (4)对于任意实数C∈R,有E(X-C)2≥D(X) 当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X). (5)(切比雪夫不等式): 设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数 有 或 3.计算 (1)利用方差定义; (2)常用计算公式 (3)方差的性质;(4)常见分布的方差. 注: 常见分布的期望与方差 1.若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;2.若 3.若X~U(a,b),则 4.若 5.若 三、原点矩与中心矩 (总体)X的k阶原点矩: (总体)X的k阶中心矩: 1.只要是随机变量,都能计算期望和方差。 (X) 2.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。 (√) 3.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。 (X) 4.方差的实质是随机变量函数的期望。 (√) 5.对于任意的X,Y,都有 成立。 (X) 第四章正态分布 一、正态分布的定义 1.正态分布 ⑴ 概率密度为 其分布函数为 注: . 正态密度函数的几何特性: 2.标准正态分布 当 时, 其密度函数为 且其分布函数为 的性质: 3.正态分布与标准正态分布的关系 定理: 若 则 . 定理: 设 则 二、正态分布的数字特征 设 则1.期望E(X) 2.方差D(X) 3.标准差 三、正态分布的性质 1.线性性.设 则 ; 2.可加性.设 且X和Y相互独立,则 3.线性组合性设 ,且相互独立,则 四、中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量 相互独立,服从相同的分布,且 则对于任何实数x,有 定理解释: 若 满足上述条件, 有 (1) ; ; (3) 2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设 则 定理解释: 若 当n充分大时,有 (1) ; (2) 1.若 则 (X) 2.若 则 (√) 3.设随机变量X与Y均服从正态分布: 4.已知连续随机变量X的概率密度函数为 则X的数学期望为__1____;X的方差为__1/2____. 第五章数理统计的基本知识 一、总体个体样本 1.总体: 把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量,记X. 2.个体: 总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值. 3.样本: 从总体X中,随机地抽取n个个体 称为总体X的容量为n的样本。 注: ⑴样本 是一个n维的随机变量;⑵本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足2个特性: ①代表性: 中每一个与总体X有相同的分布.②独立性: 是相互独立的随机变量. 4.样本 的联合分布 设总体X的分布函数为F(x),则样本 的联合分布函数为 (1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为 (2)设总体X的概率函数为 则样本的联合概率函数为 二、统计量 1.定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数 称为统计量, 是 的观测值. 注: (1)统计量 是随机变量; (2)统计量 不含总体分布中任何未知参数; (3)统计量的分布称为抽样分布. 2.常用统计量 (1)样本矩: ①样本均值 ;其观测值 .可用于推断: 总体均值E(X). ②样本方差 ; 其观测值 可用于推断: 总体方差D(X). ③样本标准差 其观测值 ④样本k阶原点矩 其观测值 ⑤样本k阶中心矩 其观测值 注: 比较样本矩与总体矩,如样本均值 和总体均值E(X);样本方差 与总体方差D(X); 样本k阶原点矩 与总体k阶原点矩 ;样本k阶中心矩 与总体k阶原点矩 .前者是随机变量,后者是常数. (2)样本矩的性质: 设总体X的数学期望和方差分别为 , 为样本均值、样本方差,则 3.抽样分布: 统计量的分布称为抽样分布. 三、3大抽样分布 : 定义.设 相互独立,且 ,则 注: 若 则 (2)性质(可加性) 设 相互独立,且 则 2.t分布: 设X与Y相互独立,且 则 注: t分布的密度图像关于t=0对称;当n充分大时,t分布趋向于标准正态分布N(0,1). 3.F分布: 定义.设X与Y相互独立,且 则 (2)性质.设 则 . 四、分位点 定义: 对于总体X和给定的 若存在 ,使得 则称 为X分布的 分位点。 注: 常见分布的分位点表示方法 (1) 分布的 分位点 (2) 分布的 分位点 其性质: (3) 分布的 分位点 其性质 (4)N(0,1)分布的 分位点 有 第六章参数估计 一、点估计: 设 为来自总体X的样本, 为X中的未知参数, 为样本值,构造某个统计 量 作为参数 的估计,则
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- 概率论 数理统计 复习 提纲