全国百强校顶尖名校湖南师大附中届高三第二次月考试题 文科数学Word下载.docx
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任意x∈R,都有x2+x+1≥0
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题
其中真命题个数为(C)
A.1B.2C.3D.4
【解析】由题可知,①正确,②正确,特称命题的否定为全称命题,所以③显然正确;
若p且q为假命题,则p,q至少有一个是假命题,所以④的推断不正确.故选C.
4.设正项等比数列的前n项的和为Sn,且<
1,若a3+a5=10,a1·
a7=16,则S4=(B)
A.60或B.60C.D.120
【解析】由等比数列是单调递减数列,得q=,所以a1=32,S4==60,故选B.
5.如图所示,在三棱锥D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD⊥平面ABC,∠ACB=90°
.若其正视图、俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(D)
A.B.2
C.D.
【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一条直角边是CD,另一条直角边为△ABC的边AB上的中线,所以其侧视图面积为S=×
2×
=,故选答案D.
6.已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足++=0,且++x=0,那么实数x的值为(B)
A.2B.-3C.4D.5
【解析】由题可知,根据向量的减法有,=-,=-,于是有(-)+(-)=x,故(-x-2)++=0,又因为++=0,所以-x-2=1,即x=-3.故选B.
7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若<
cosA,则△ABC为(A)
A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形
【解析】根据定理:
=<
cosA,那么sinC=sinBcosA,根据A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),所以sin(A+B)<
sinBcosA,整理为:
sinAcosB<
0,三角形中sinA>
0,所以cosB<
0,那么<
B<
π.故选A.
8.某程序框图如图所示,该程序运行后若输出S的值是2,则判断框内可填写(B)
A.i≤2015B.i≤2016
C.i≤2017D.i≤2018
【解析】由程序框图,初始值S=2,i=1.
循环一次后,S=-3,i=2;
循环两次后,S=-,i=3;
循环三次后,S=,i=4;
循环四次后,S=2,i=5;
循环五次后,S=-3,i=6;
…
依次类推,S的值呈周期性变化,周期为4.
如果i≤2015,则循环结束S=;
如果i≤2016,则循环结束S=2.
因此条件判断框中的条件是“i≤2016”.故选B.
9.函数f=cosx的图象的大致形状是(B)
【解析】由题意得,f=cosx=·
cosx,所以f=·
cos(-x)=·
cosx=-f(x),所以函数f为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A,C;
令x=1,则f=cos1=cos1<
0,故选B.
10.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,直线x=与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(D)
A.(0,]B.(0,)C.[-1,1)D.[,1)
【解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等.而|FA|=-c=,因为|PF|∈[a-c,a+c],所以∈[a-c,a+c].
即ac-c2≤b2≤ac+c2,∴
又e∈(0,1),故e∈[,1),故答案选D.
11.在体积为的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°
,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是(B)
A.πB.πC.πD.12π
【解析】△ABC外接圆圆心为AC中点D,连接SD,则由平面SAC⊥平面ABC及SA=SC,知SD⊥平面ABC,且球心O在SD上,则S△ABC×
SD=,解得SD=2.设三棱锥S-ABC外接球半径为R,则R=OS=OB,所以在Rt△ODB中,OB2=BD2+OD2,即R2=()2+(2-R)2,解得R=,故所求球的体积为V=πR3=π,故选B.
12.某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e,y=0所围成的曲边三角形的面积时,用计算机分别产生了10个在区间[1,e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0,1]上的均匀随机数yi(i∈N*,1≤i≤10),其数据如下表的前两行.
x
2.50
1.01
1.90
1.22
2.52
2.17
1.89
1.96
1.36
2.22
y
0.84
0.25
0.98
0.15
0.01
0.60
0.59
0.88
0.10
lnx
0.90
0.64
0.20
0.92
0.77
0.67
0.31
0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为(A)
A.(e-1)B.(e-1)C.(e-1)D.(e-1)
【解析】由表可知,向矩形区域内随机抛掷10个点,其中有6个点在曲边三角形内,其频率为=.因为矩形区域的面积为e-1,所以曲边三角形面积的近似值为(e-1),选A.
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知cos(α-)=且α∈(,π),则tan(α-)=__7__.
【解析】由已知得,sinα=,cosα=-,tanα=-,tan(α-)===7.
14.对于实数a和b,定义运算a*b=则式子lne2*的值为__9__.
【解析】因为a*b=而lne2=2<
=3,所以lne2*-=3×
(2+1)=9.
15.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2019=__-1__.
【解析】由函数f(x)=xα的图象过点(4,2)得:
4α=2,α=,
从而f(x)=;
∴an==-,
从而S2019=(-)+(-)+…+-=-1.
16.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<
1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<
0,则a的取值范围是__[,1)__.
【解析】f(x)<
0ex(2x-1)<
ax-a,记g(x)=ex(2x-1),则题意说明存在唯一的整数x0,使g(x)的图象在直线y=ax-a下方,g′(x)=ex(2x+1),当x<
-时,g′(x)<
0,当x>
-时,g′(x)>
0,因此当x=-时,g(x)取得极小值也是最小值g(-)=-2e-,又g(0)=-1,g
(1)=e>
0,直线y=ax-a过点(1,0)且斜率为a,故
解得≤a<
1.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
为增强市民的环保意识,某市政府向社会征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中挑选了100名,按年龄(单位:
岁)分为5组:
第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计这100名志愿者的平均年龄;
(Ⅱ)现指定第3组中某3人,第4组中某2人,第5组中某1人,共6名志愿者参加某项宣传活动.活动结束后,从这6人中随机抽取2人介绍经验,求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率.
【解析】
(Ⅰ)在频率分布直方图中,从左至右各小矩形的面积分别是0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.(2分)
下底边中点值分别是22.5,27.5,32.5,37.5,42.5.(4分)
因为22.5×
0.05+27.5×
0.35+32.5×
0.3+37.5×
0.2+42.5×
0.1=32.25.
由此估计,这100名志愿者的平均年龄为32.25岁.(6分)
(Ⅱ)设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A,
记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,
第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.(7分)
则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有15种.(9分)
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名被抽中的取法有:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有9种.(11分)
所以P(A)==,故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为.(12分)
18.(本小题满分12分)
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点.
(Ⅰ)求三棱锥F-DEC的体积;
(Ⅱ)在线段CD上是否存在一点G,使得平面EFG⊥平面PDC?
若存在,请说明其位置,并加以证明;
若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)过点P作AD的垂线PH,垂足为H.
又∵侧面PAD⊥底面ABCD,PH平面PAD,
侧面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PH⊥平面ABCD.连接HC,(2分)
∵E为PC中点,∴三棱锥E-FDC的高h=PH,
又PA=PD=AD且AD=2,∴PH=1,∴h==,(4分)
∴三棱锥F-DCE的体积是
VF-DCE=VE-FDC=S△DFC·
h=×
×
=.(6分)
(Ⅱ)在线段CD上存在一点G为CD的中点时,使得平面EFG⊥平面PDC,理由如下:
(7分)
∵底面ABCD是边长为2的正方形,∴CD⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PAD,(9分)
又EF∥PA,∴CD⊥EF,
取CD中点G,连接FG,
∵F为AC中点,∴FG∥AD,
又CD⊥AD,∴FG
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