排列组合问题的解题方法Word文件下载.docx
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〔4〕甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起的排法有多少种.
解:
〔1〕先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素与其余的5个元素〔同学〕一起进展全排列有种方法;
再将甲、乙两个同学“松绑〞进展排列有种方法.所以这样的排法一共有种.
〔2〕方法同上,一共有720种.
〔3〕解法一:
将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;
将剩下的4个元素进展全排列有种方法;
最后将甲、乙两个同学“松绑〞进展排列有种方法.所以这样的排法一共有960种方法.
解法二:
将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,假设丙站在排头或排尾有2种方法,所以,丙不能站在排头和排尾的排法有种方法.
解法三:
将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的5个元素进展全排列共有种方法,最后将甲、乙两同学“松绑〞,所以,这样的排法一共有960种方法.
〔4〕将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素,时一共有2个元素,∴一共有排法种数:
〔种〕
说明:
对于相邻问题,常用“捆绑法〞〔先捆后松〕.
二.间隔排列问题:
局部元素不能安排在一起〔间隔〕的排列问题,称之为“间隔排列〞问题.解决这类问题,常用“插空法〞,其方法是先排不需要间隔的元素,再将需要间隔的元素通过插空的方式插进来即可.
例2在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色.假设只要求相邻两块牌的底色不都为红色,则不同的配色方案共有〔〕
A.55.B.56.C.46.D.45.
没有红牌,一种方法;
有一块红牌,让其插空,有种方法;
有二块红牌,让其插空,有种方法;
有三块红牌,让其插空,有种方法;
有四块红牌,让其插空,有种方法;
共有方法种.
对于不相邻问题,常用“插空法〞〔特殊元素后考虑〕.
例3*仪表显示屏上一排有7个小孔,每个小孔可显示出0或1,假设每次显示其中三个孔,但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有种.
四个孔不亮,三个孔亮,相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空,故有
80种方法.
三.局部不同元素定序与局部一样元素排列问题:
局部不同元素在排列前后的顺序固定不变〔不一定相邻〕的排列问题,称之为“定序排列〞问题.解决这类问题的根本方法有三种.
〔1〕“消序法〞〔有些地方叫“整体法〞〕,即假设有个元素排成一列,其中有个元素之间的排列顺序不变,将这个元素任意排成一列,共有种不同的排法,其中未定序的个元素排在*一特定位置的排列的个数有种排法,但只有一个排列是我们所需要的排列,因而共有种不同的排法.类似地还可推广到一般情形,如有有个元素排成一列,其中有个元素之间的排列顺序不变,且另外个元素之间的排列顺序也不变,则共有中不同的算法.
〔2〕逐一插空法:
先将定序的元素进展排列,再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.
〔3〕优序法:
先将所有位置中按“特殊元素〞个数选出假设干位置,并把这些特殊元素按规定顺序排上去,再将普通元素在其余位置上全排列.
例4假设5男5女排成一排,按以下要求各有多少种排法
〔1〕男女相间;
〔2〕女生按指定顺序排列.
〔1〕先将男生排好,有种排法;
再将5名女生插在男生之间的6个“空挡〞〔包括两端〕中,有种排法.故此题的排法有〔种〕;
〔2〕方法1〔消序法〕:
;
方法2〔逐一插空法〕:
5个女生按序排列,有1中方法,5个男生逐个插空,有6,7,8,9,10种方法,共有种方法.
方法3〔优序法〕:
设想有10个位置,先将男生排在其中的任意5个位置上,有种排法;
余下的5个位置排女生,因为女生的顺序已经指定,所以她们只有一种排法.
故此题的结论为〔种〕.
例5今有2本一样的语文书,3本一样的数学书,4本一样的英语书排成一排,有多少种不同的排法.
〔消序法〕有种.
例6一个楼梯共18个台阶,12步登完,可一步登一个台阶,也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法.
根据题意,要想12步登完,只能6个一步登一个台阶,6个一步登二个台阶.因此,把问题转化为“一样元素〞的排列问题.因此有〔种〕.
点评:
对于局部不同元素定序排列以及一样元素的排列问题,可用优序法.
【随堂练习】
1.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有〔B〕
A.40种B.60种C.100种D.120种
2.安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有210种.〔用数字作答〕
3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字,且比20000大的五位偶数有〔 〕
A.288个B.240个C.144个D.126个
4.如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格
子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,
则不同的涂色方法共有 390 种〔用数字作答〕.
5.*校开设9门课程供学生选修,其中三门由于上课时间一样,至多项选择一门,学校规定每位同学选修4门,共有 75 种不同选修方案.〔用数值作答〕
6.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.〔用数字作答〕
【课后作业】
1.*校安排5个班到4个工厂进展社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有240种.〔用数字作答〕
2.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为〔1,2,…,6〕,假设,,,,则不同的排列方法有30种〔用数字作答〕.
分两步:
〔1〕先排,,,当=2时,有2种;
当=3时,有2种;
当=4时,有1种,共有5种;
〔2〕再排,,,共有种,故不同的排列方法种数为5×
6=30,填30.
3.中两支围棋队各由8人组成,按事先排好的次序出场进展围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……,直到有一方全部被淘汰为止,另一方获胜,形成一个比赛过程.
〔1〕中方动用了5名队员,取得了胜利,问这样的比赛过程有多少种.
〔2〕求由中方第8位选手获得最后胜利的概率.
〔1〕中方胜利时,双方共有8513名队员参加了比赛,将他们按淘汰的顺序从左向右排列,则最右为中方5号,右第二个为方8号,从右第三个至最左,共11个位置上,有4个位置排中方队员,其余排方队员,每一种排法,对应一种比赛结果,故共有种.
〔2〕.
4.假设7位同学站成一排
〔1〕甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种.
〔2〕甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种.
〔1〕解法一:
〔排除法〕;
〔插空法〕先将其余五个同学排好有种方法,此时他们留下六个位置〔就称为“空〞吧〕,再将甲、乙同学分别插入这六个位置〔空〕有种方法,所以一共有种方法.
〔2〕先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个“空〞,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有种方法,所以一共有=1440种.
【课后记】
第二课时排列组合问题的解题方法〔二〕
掌握“错位排列〞、“圆桌排列〞、“转化命题〞等问题的解题技巧.
四.错位排列问题
个不同元素排成一排,有个元素〔〕不排在相应位置的排列种数共有:
.
当时,规定,这个公式亦成立.
例7五封标号为1~5的信放进5个编号为1~5的信笺里面,假设信的编号与信笺的编号都不一样,一共有多少种不同放法.
这是著名的信封问题,很多著名数学家都研究过.瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:
用、、……表示写着位友人名字的信封,、、……表示份相应的写好的信.把错装的总数记为.假设把错装进里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:
〔1〕错装进里,这时每种错装的其余局部都与、、、无关,应有种错装法.
〔2〕错装进、之外的信封,这时的装信工作实际是把〔除之外的〕信纸、……装入〔除之外的〕个信封、……,显然这种错装方法有种.
错装的其余局部都与、、、无关,应有种错装法.
总之在错装入的错误之下,共有错装法种.
装入……的种错误之下,同样都有种错装法.
因此,显然,.
由此可得.
注意:
用容斥原理亦可解决此题.
普遍结论为错排公式1:
错排递推公式2:
错排公式3:
例8有5个人站成一排,其中A不站第一位,B不站第二位,C不站第三位,D不站第四位,E不站第五位,共有多少种不同的站法.
解析:
上面两例实际上可以看成个不同元素中有〔〕错位排列的问题.
而这个问题是其特殊情况,即全错位排列问题.
共有种〔注意〕
例9同室四人各写一贺年卡,先集中起来.然后每人从中拿一别人送出的贺年卡.则四贺年卡不同的分配方式有
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
由上面公式得:
种,∴选择B答案.
因此可得到全错位排列的公式:
个不同元素排成一排,第一个元素不在第一位,第二个元素不在第二位,……,第个元素不在第位的排列数为:
这实际上是公式的特殊情况.这个公式很有用,只要有特殊元素不站特殊位置的问题,都可以用这个公式很快得到解决,希望这个公式对大家有所帮助.
五.圆桌排列
从个不同元素中不重复的取出〔〕个元素排在一个圆周上,叫做这个不同元素的圆排列.如果一个-圆排列旋转可以得到另一个-圆排列,则认为这两个圆排列是一样的.
特别的,当时,个不同元素作成的圆排列总数为.
证明:
在圆周上任选一个位置排有种排法,再选一个位置排有种排法,…,最后一个位置排有1种排法.而这个人顺时针〔或逆时针〕挪动次位置都是同一种排列.所以共有种排法.
例10有5对夫妇参加一场婚宴,他们被安排在一10个座位的圆桌就餐,但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系,只是随机安排座位。
问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少.( )
A.
在1‰到5‰之间
B.
在5‰到1%之间
C.
超过1%
D.
不超过1‰
5对夫妇相邻而座,可以看做是五个大元素为桌而坐,所以有种坐法,而夫妇间又可以换位置,所以共有.应选:
A.
例11博杰学习网竞赛小组“先进人物评比〞最终圈定了个人,需要确定最终的三个“先进人物〞人选.方法是:
这个人排成一行,从第一名开场,1至3循环报数,凡报出3的就退出,余下的向前靠拢,按此规律重复进展.直到第次报数后,只剩下3个人为止.试问:
这剩下的三个人,分别在队伍最初的什么位置.
设个人的编号依次为1,2,…,.最后剩下的三个人中,第三人的编号为.因未被淘汰,故不是3的倍数.第一次报
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