高中数学高考二轮复习函数的应用教案含答案全国用Word格式文档下载.docx
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当k=1时,<
.
所以函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点时,
0<
ω≤或≤ω≤.
2.(2016·
天津)已知函数f(x)=(a>
0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
A.B.
C.∪D.∪
答案 C
解析 由y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上递减,得0<
a<
又由f(x)在R上单调递减,则
⇒≤a≤.
如图所示,在同一坐标系中作出函数y=|f(x)|和y=2-x的图象.
由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-x有且仅有一个解.故在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x同样有且仅有一个解.当3a>
2,即a>
时,由x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中x<
0),得x2+(4a-2)x+3a-2=0(其中x<
0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,
解得a=或a=1(舍去);
当1≤3a≤2,即≤a≤时,由图象可知,符合条件.
综上所述,a∈∪.
故选C.
3.(2016·
山东)已知函数f(x)=其中m>
0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
答案 (3,+∞)
解析 如图,
当x≤m时,f(x)=|x|;
当x>
m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)为增函数,若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·
m+4m<
|m|.∵m>
0,∴m2-3m>
0,解得m>
3.
4.(2016·
四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
答案
解析 由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h=1,
则体积V=Sh=×
×
1=.
1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择题、填空题的形式出现.
2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.
热点一 函数的零点
1.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·
f(b)<
0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.函数的零点与方程根的关系
函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
例1
(1)已知实数a>
1,0<
b<
1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
(2)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
答案
(1)B
(2)A
解析
(1)因为a>
1,f(x)=ax+x-b,
所以f(-1)=-1-b<
0,f(0)=1-b>
0,
由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.
(2)当x>
2时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;
当0≤x≤2时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;
当x<
0时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.
由于函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)-g(x)=0的根的个数.
2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+5=0,其根为x=或x=(舍去);
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=3-x,无解;
0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x-1=0,其根为x=或x=(舍去).
所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:
(1)函数零点值大致存在区间的确定;
(2)零点个数的确定;
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.
跟踪演练1
(1)函数f(x)=lgx-的零点所在的区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,10)
(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案
(1)C
(2)B
解析
(1)∵f
(2)=lg2-<
0,f(3)=lg3->
∴f
(2)f(3)<
故f(x)的零点在区间(2,3)内.
(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=x的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=x的图象.
由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.
例2
(1)对任意实数a,b定义运算“⊗”:
a⊗b=设f(x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则k的取值范围是( )
A.(-2,1)B.[0,1]
C.[-2,0)D.[-2,1)
解析 解不等式x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3,
所以f(x)=
函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y=f(x)的图象和直线y=-k恰有三个不同的交点.
如图,所以-1<
-k≤2,故-2≤k<
(2)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>
0).
①若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
②确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解 ①∵g(x)=x+≥2=2e(x>
0),当且仅当x=时取等号,∴当x=e时,g(x)有最小值2e.
∴g(x)=m有零点,只需m≥2e.
∴当m∈[2e,+∞)时,g(x)=m有零点.
②若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.
如图,作出函数g(x)=x+(x>
0)的大致图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2,
∴其对称轴为x=e,f(x)max=m-1+e2.
若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,则m-1+e2>
2e,即当m>
-e2+2e+1时,g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
思维升华
(1)方程f(x)=g(x)根的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数;
(2)关于x的方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.
跟踪演练2
(1)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是_________________.
(2)(2015·
湖南)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
答案
(1)(-∞,2ln2-2]
(2)(0,2)
解析
(1)f′(x)=ex-2,当x∈(-∞,ln2)时,f′(x)<
0;
当x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>
0,所以f(x)min=f(ln2)=2-2ln2+a.由于所以f(x)有零点当且仅当2-2ln2+a≤0,所以a≤2ln2-2.
(2)将函数f(x)=|2x-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2x-2|的图象与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.
由f(x)=|2x-2|-b=0,
得|2x-2|=b.
在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
则当0<
2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.
热点三 函数的实际应用问题
解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:
(1)阅读理解,审清题意:
分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;
(2)数学建模:
弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;
(3)解函数模型:
利用数学方法得出函数模型的数学结果;
(4)实际问题作答:
将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:
当每台净化器的利润为x(单位:
元,x>
0)时,销售量q(x)(单位:
百台)与x的关系满足:
若x不超过20,则q(x)=;
若x大于或等于180,则销售量为零;
当20<
x<
180时,q(x)=a-b(a,b为实常数).
(1)求函数q(x)的表达式;
(2)当x为多少时,总利润(单位:
元)取得最大值,并求出该最大值.
解
(1)当20<
180时,
由 得
故q(x)=
(2)设总利润f(x)=x·
q(x),
由
(1)得,f(x)=
当0<
x≤20时,f(x)==126000-,
f(x)在(0,20]上单调递增,
所以当x=20时,f(x)有最大值120000.
180时,f(x)=9000x-300·
x,
f′(x)=9000-450·
,
令f′(x)=0,得x=80.
80时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,
当80<
180时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,
所以当x=80时,f(x)有最大值240000.
180时,f(x)=0.
答 当x等于80元时,总利润取得最大值240000元.
思维升华
(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.
(2)对函数模型求最值的常用方法:
单调性法、基本不等式法及导数法.
跟踪演练3
(1)国家规定个人稿费纳税办法为:
不超过800元的不纳税;
超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;
超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,则他的稿费为( )
A.3000元B.3800元
C.3818元D.5600元
(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元.
答案
(1)B
(2)4050
解析
(1)假设个人稿费为x元,所缴纳税费为y元,由已知条件可知y为x的函数,且满足y=
共纳税420元,
所以有0.14(x-800
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