贵州省黔东南州届高三下学期第二次模拟考试数学文试题word版含答案Word下载.docx
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5.已知,则的大小关系为
【解析】已知,由指数函数性质易知,又,故选D.
点晴:
本题考查的是指数式,对数式的大小比较。
解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小,当指、对函数的底数大于0小于1时,函数单调递减,当底数大于1时,函数单调递增;
另外由于指数函数过点(0,1),对数函数过点(1,0),所以还经常借助特殊值0,1比较大小.
6.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为
【答案】A
【解析】画出正三角形,以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交,蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内,故.故选A.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最大边长为
A.B.
C.D.
【解析】根据三视图作出原几何体(四棱锥)的直观图如下:
可计算,故该几何体的最大边长为.
点睛:
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;
俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;
侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:
1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;
3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
8.若函数的定义域为R,其导函数为.若恒成立,,则解集为
【解析】由已知有,令,则,函数在R单调递减,,由有,则,故选D.
9.执行如图的程序框图,则输出的值为
A.1B.
C.D.0
【解析】由图知本程序的功能是执行
此处注意程序结束时,由余弦函数和诱导公式易得:
,周期为,
.
10.已知直线的倾斜角为,则的值为
【解析】由已知有,
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”.
11.设函数的最大值为M,最小值为N,则的值为
【解析】由已知,
令,易知为奇函数,由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为,,=1,故选A.
12.已知点是曲线的焦点,点为曲线上的动点,为曲线的准线与其对称轴的交点,则的取值范围是
【解析】由已知,,,则
,当且仅当时等号成立,又,故选.
另:
作出图象后易知,则,故选C.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
13.已知实数满足约束条件,则的最小值是_____.
【答案】.
【解析】约束条件表示的平面区域为封闭的三角形,求出三角形的三个顶点坐标分别为、、,带入所得值分别为、、,故的最小值是.
另,作出可行域如下:
由得,当直线经过点时,截距取得最大值,此时取得最小值,为.
点睛:
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:
一、准确无误地作出可行域;
二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;
三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
14.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试,考试成绩采用等级制(分为三个层次),得的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知,三名同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下:
甲说:
看丙的状态,他只能得或;
乙说:
我肯定得;
丙说:
今天我的确没有发挥好,我赞同甲的预测.
事实证明:
在这三名同学中,只有一人的预测不准确,那么得的同学是_____.
【答案】甲.
【解析】若得的同学是甲,则甲、丙预测都准确,乙预测不准确,符合题意;
若得的同学是乙,则甲、乙、丙预测都准确,不符合题意;
若得的同学是丙,则甲、乙、丙预测都不准确,不符合题意。
综上,得的同学是甲.
15.在中,内角所对的边分别为,已知,且,则面积的最大值为________.
【解析】由已知有,,由于,
又,则,
当且仅当时等号成立.故面积的最大值为.
16.在平面上,,且,,.若,则的取值范围是____________________.
【解析】分别以、为、轴建立直角坐标系,
设,由得.
设,由得,即,
,
即的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分
17.已知数列的前n项和为,且满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,记数列的前项和为,证明:
.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
(I)当时,,整理得,当n=1时,有.数列是以为公比,以为首项的等比数列.即可求数列的通项公式.
(II)由(I)有,则,用裂项相消法可求其前n项和.
试题解析:
(I)当时,有,解得.
当时,有,则
整理得:
数列是以为公比,以为首项的等比数列.
即数列的通项公式为:
.
(II)由(I)有,则
故得证.
18.据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:
若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:
百万元),则称为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:
分组
频数
18
49
24
5
(Ⅰ)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?
(Ⅱ)若导游的奖金(单位:
万元),与其一年内旅游总收入(单位:
百万元)之间的关系为,求甲公司导游的年平均奖金;
(Ⅲ)从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中,用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰,其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈,求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.
(1),,甲
(2)2.2(3)
(I)由频率和为1可求得,由频数为100可求得.进而可求得甲,乙公司的导游优秀率,得结论.(II)先求甲公司年旅游总收入在,,的人数,再用平均数公式求甲公司导游的年平均奖金(Ⅲ)由已知按分层抽样的方法甲公司抽取人,记为;
从乙公司抽取人,记为1,2.则6人中随机抽取2人的基本事件有15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有9个.可求所求概率.
(I)由直方图知:
,有,
由频数分布表知:
,有.
甲公司的导游优秀率为:
;
乙公司的导游优秀率为:
由于, 所以甲公司的影响度高.
(II)甲公司年旅游总收入的人数为人;
年旅游总收入的人数为人;
故甲公司导游的年平均奖金(万元).
(Ⅲ)由已知得,年旅游总收入在的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人.按分层抽样的方法甲公司抽取人,记为;
从乙公司抽取人,记为1,2.则6人中随机抽取2人的基本事件有:
共15个.
参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有:
,,,,,,,共9个.
设事件为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则
所求概率为.
古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法:
适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:
适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:
适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19.在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.
(1)求证:
平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
(1)见解析
(2)
(I)取中点,连接.可证,得四边形是平行四边形
有,证得平面.(II)证明平面,平面,
点到平面的距离等于点到平面的距离.所以代入数值可求得体积.
(I)证明:
取中点,连接.
在△中,有
分别为、中点
在矩形中,为中点
四边形是平行四边形
而平面,平面
平面
(II)解:
四边形是矩形
平面平面,平面平面=,平面
平面平面,平面
,满足
平面
点到平面的距离等于点到平面的距离.
而
三棱锥的体积为.
20.已知点,为椭圆:
上异于点A,B的任意一点.
(Ⅰ)求证:
直线、的斜率之积为-;
(Ⅱ)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、,使得?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)设,并用其坐标表示斜率,通过斜率之积,结合点在椭圆上,化简可得直线、的斜率之积为.
(Ⅱ)设点取MN的中点H,则,则|可转化为,联立直线与椭圆,结合韦达定理建立关于斜率k的方程,求解即可.
(I)设点,,则
,即
故得证.
(II)假设存在直线满足题意.
显然当直线斜率不存在时,直线与椭圆不相交.
①当直线的斜率时,设直线为:
联立,化简得:
由,解得
设点,,则
取的中点,则,则
即,化简得,无实数解,故舍去.
②当时,为椭圆的左右顶点,显然满足,此时直线的方程为.
综上可知,存在直线满足题意,此时直线的方程为.
21.已知函数,.
(Ⅰ)设,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,函数,试判断是否存在,使得为函数的极小值点.
(1)递增区间为,单调递减区间为.
(2)存在
(I)由题意.令,得,令,得.可得函数的单调区间.
(II)由已知有,.令,则.由题可得函数在区间上单调递增.且,.故存在,使得,且当时,,当,,所以存在,使得为函数的极小值点.
(I)由题意可
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