第2326节 简易测量与三角函数值表基本三角测量文档格式.docx
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東
40°
30°
58°
2.測量問題的解法:
(1)平面測量:
如為直角三角形可用畢是定理,若不為直角三角形,則利用正、餘弦定理解之。
(2)立體測量:
一定要將所有的條件投影到同一平面上再行處理。
【例題1】有一高塔,從距離塔底100公尺處P點,測得塔頂A之仰角為60°
(如圖),求此塔高度。
Ans:
公尺
60°
【類題1】有一高塔,從距離塔底50公尺處P點,測得塔頂A之仰角為73°
20'
(參考上圖),求此塔高度。
(tan73°
=3.340,答案按四捨五入取整數)
Ans:
167公尺
【例題2】某人測量一山峰的仰角為30,他向著山前進200公尺,再測得山峰的仰角為45,求山高?
【類題2】某人在A處測得高樓頂之仰角為,前進100公尺到B處,再測得仰角為,則樓高為 公尺。
50(3+)公尺
【例題3】甲生在山麓測得山頂的仰角為45︒,由此山麓循30︒斜坡上行200公尺,再測得山頂的仰角為60︒,則山高為 公尺。
100(+1)
【類題3】某人於山麓測得山之仰角為35°
,由此山麓循20°
的斜坡上行1000公尺,再測得山頂之仰角為65°
,則山高為 公尺。
(已知sin35°
=0.5736)
811公尺
【例題4】如下圖,兩觀測站A,B相距2000公尺,飛機C在D點上空,A站測得∠CAB=75°
,B站測得∠CBA=60°
,仰角∠CAD=60°
,則飛機高為【 】公尺。
1500
【類題4】一塔高為20公尺,在塔的北45°
東A處和南15°
東B處各有一觀測站,測出塔的仰角分別為60°
和30°
,則=【 2 】公尺。
20
【例題5】如下圖,地面上兩點B,C被一池塘隔開,在地面上找一點A,量得=80公尺,=50公尺,並測得∠CAB=60°
,則=【 】公尺。
70
【類題5】海岸上有A和B兩觀測站,同時發現海上有一艘船C,在A測得∠BAC=75°
,在B測得∠ABC=60°
,已知=10公里,則=【 】公里。
5(+1)公里
【例題6】站在湖中的小島的山峰上,看對岸的高峰仰角是,看湖面這高峰的鏡影俯角是,所站的山峰高度為250公尺(從湖面算起),求對岸高峰的高度。
250(2+)公尺
【類題6】站在湖中的小島的高塔上,看對岸的高峰仰角是,看湖面這高峰的鏡影俯角是,所站的高塔高度為50公尺(從湖面算起),求對岸高峰的高度。
100公尺
【例題7】一船向北航行,在北東的方位發現一燈塔後,繼續向北前進5公里,此時,燈塔的方位為南東,則該船航線與燈塔的最短距離為多少公里?
公里
【類題7】一船向北航行,在北東的方位發現一燈塔後,繼續向北前進10公里,此時,燈塔的方位為北東,則該船航線與燈塔的最短距離為多少公里?
5公里
【例題8】海中有一小島A,今在其四周8浬處敷設水雷。
現有一艦從西向東行駛,於P處發現A在北60°
東,行5浬後,於B處見A在北45°
東,若此艦航行方向不變,試問是否有危險?
有
【類題8】海中一小島周圍x浬內布有水雷,今有一船於A處望見該島在東15°
北,此船向東行駛10浬後,至B處再望該島,則在東30°
北。
若此船航行方向不變,則布雷半徑x最大未超過【 】浬時,該船方無危險。
5浬
【例題9】設從一直線上之三點A,B,C測得某一山頂之仰角分別為30°
,45°
,60°
(但A,B,C三點與山頂之垂足不共線),若==600公尺,求山高。
300公尺
【類題9】從一直線上之三點A,B,C測得一山頂之仰角各為30°
,已知A,B,C與山腳不共線且=300公尺,=200公尺,求山高。
【例題10】山頂有一塔,塔高30公尺,某人自地面某點測得山頂,塔頂之仰角分別為30°
,求山高。
15(+1)公尺
【類題10】某建築物上有一塔,塔頂有一旗桿,已知旗桿長2公尺,今在平地上某點測得建築物之頂,塔頂及旗桿頂之仰角分別為45°
和75°
,則建築物之高度為【 】公尺。
1
【例題11】在O點有一船往正東方向航行,在其左側發現兩燈塔A與B,經測其方位,A在北30°
東,B在北75°
東,該船航行15公里後,再測兩燈塔之方位,得A在北45°
西,而B在北60°
東,則=【 】公里,=【 】公里,兩燈塔距離=【 】公里。
(1)15(-1)
(2)(3)15
【類題11】有一船自定點P往正北方向航行,在其右側發現有二燈塔A與B,經測量其方位「A在北45︒東,B在北15︒東」,該船行駛20公里到達Q點後,再測得二燈塔方位「A在南60︒東,B在北30︒東」
,試求:
(1)點Q與燈塔A的距離。
(2)兩燈塔的距離。
(但已知sin15︒=)
(1)20(-1)公里
(2)20公里
焦點二三角函數值表:
1.三角函數值表:
(1)角度θ介於0~45時,求其某一三角函數值,則為θ所在列與上方第一列中所在之行的交叉處所指之數。
角度θ介於45~90求其某一三角函數值,則為θ所在列與下方第一列中所在之行的交叉處所指之數。
(2)觀察三角函數值表可看出其遞增與遞減之變化:
當角度介於0~90之間時,,,皆為遞增函數;
而,,皆為遞減函數。
簡單的遞增與遞減之變化如下:
30
45
60
90
1
+∞
2
(3)線性內插法求三角函數值:
當所求之角度在三角函數值表中無法查得時,可用線性內插法求其三角函數值的近似值。
此與對數的線性內插法原理相同,請參閱。
【例題1】利用三角函數值表,做下列各題:
(1)cos16︒10'
(2)tan19︒20'
(3)sin79︒20'
(4)cos80040'
(1)0.9605
(2)0.3508(3)0.9827(4)0.1622
【類題1】利用三角函數值表,做下列各題:
(1)sin17︒40'
(2)cot70︒40'
(3)sec78︒40'
(1)0.3035
(2)0.3508(3)5.089
【例題2】已知sin3330'
=0.5519,sin3340'
=0.5544,試用線性內插法求sin3333'
?
約0.5527
【類題2】已知tan5940'
=1.709,tan5950'
=1.720,且tanθ=1.715,試用線性內插法求θ?
(0<
θ<
90)
約5945'
【例題3】已知sin2310'
=0.3934,sin3320'
=0.3961,若270<
360,且sinθ=-0.3968,則θ=?
33637'
【類題3】已知sin4720'
=0.7353,sin4730'
=0.7373,試用線性內插法求sin22723'
。
-0.7359
【例題4】設,試比較a,b,c,d之大小。
d>
c>
a>
b
【類題4】試比較sin15,cos25,sin35,tan55,sec65之大小。
sec65>
tan55>
cos25>
sin35>
sin15
—課後練習—
1.某人要測河川之寬,在岸之一邊取兩點A,B;
在對岸取一目標C,得∠CAB=45°
,∠CBA=60°
,=100公尺,則河寬為【 】公尺。
2.根據氣象預報,某颱風於某日下午2時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方300公里處,暴風半徑為250公里,以每小時50公里的速率朝「北30°
西」等速直線前進。
設此颱風的速度,方向及暴風半徑都不變,則鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有【 】小時。
3.有一砲臺從地平面上一點測得仰角為30°
,向砲臺走近10公尺,再測得其仰角為45°
,則砲臺之高為【 】公尺。
4.設有一梯子靠牆放與牆成15度角,梯長6公尺,則梯腳到牆角之距離為【 】公尺。
5.有一條道路,其兩旁有一棟較高的大廈和一棟較低的公寓(在大廈的正對面),從大廈屋頂測得對面公寓屋頂之仰角為45°
,再測公寓的腳底點的俯角為60°
,已知公寓高為15公尺,則大廈的高度為【 】公尺。
(求至小數點以下第二位)
6.在一塔的正西A處與正南B點,測得塔頂之仰角分別為45°
,15°
,設=100公尺,則塔高為【 】公尺。
(已知tan15°
=2-)
7.一漁船在湖上等速直線前進。
已知上午9時50分,漁船在觀測點O的北方偏西70°
,離O點2浬處。
上午10時10分則在觀測點O的北方偏東50°
,離O點1浬處。
則:
(1)此漁船的時速為【 】浬/時。
(2)這段時間內,漁船離觀測點O的最近距離為【 】浬。
8.從平地上A,B,C三點,測得某大樓頂之仰角均為30°
,設∠ABC=45°
,=300公尺,則此大樓高為【 】公尺。
9.自塔之東一點A,測得塔頂之仰角為45°
,在塔之南60°
東一點B,測得塔頂之仰角為30°
,設A,B相距471公尺,則塔高為【 】公尺。
10.設有一湖,欲測湖岸兩點長,但湖岸築有鐵絲網不能靠近,在鐵絲網外取A,B兩點間距離為30公尺,分別自A,B可看到其餘三點C,D,B或C,D,A,因而測得如下圖,∠CAB=120°
,∠DBA=135°
,∠DAB=30°
,∠CBA=45°
,則長為【 】公尺。
11.某人於山麓測得山頂的仰角為60︒,由此山麓循30︒斜坡上行200公尺,再測得山頂的仰角為75︒,試求山高=
(A)100(+1) (B)100(-1) (C)100(3+) (D)100(3-) (E)25(3-)
12.老張從旗桿底O點的正西方A點測得桿頂T點的仰角為30︒,他向旗桿前進30公尺至B點,再測得桿頂的仰角為60︒,則:
(1)旗桿高為
(A)15(-1) (B)15 (C) (D)15 (E)15 公尺。
(2)B點與桿頂T的距離為
(A)30 (B) (C)10 (D)22.5 (E)30 公尺。
(3)他由B點回頭向A點走到C點,測得桿頂仰角為45︒,則的長為
(A)15(3-) (B)15 (C)15 (D)15 (E)15(-1) 公
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