分式重点难点例题练习题自测题Word格式文档下载.docx
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令x+6=0,得x=-6
∴当x≠-6时,分式有意义.
在上面的解题过程中,分子、分母约去了(x+1),原分式变形为
例2
不改变分式的值,求解.
数;
分析:
本题都是有关分式的恒等变形,不改变分式的值是变形的前提与关键,变形的依据是分式的基本性质和符号法则,在运用符号法则时要注意,一个分式三处有符号(分式本身、分子、分母),要同时改变两处的符号,才能保证分式的值不变.
例3
约分.
解:
(1)分析:
此分式的分子、分母均为单项式,约去分子、分母中相同字母的最低次幂,系数约去最大公约数.
(2)分析:
可以把(x+y)、(a-b)看做一个整体.
(3)分析:
当分式的分子、分母是多项式时,需通过因式分解将其转化为因式乘积的形式,再进行约分,且约分的结果可以是整式.
一个分式的最后形式必须是最简分式.
例4
通分.
(1)∵最简公分母是60a3b2c3,
(2)把各分母因式分解,得
x2+2x+1=(x+1)2,x2+x=x(x+1),x2-1=(x+1)(x-1)∴最简公分母是x(x-1)(x+1)2
进行分式的通分时,若分母是单项式,取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积,作为公分母,这样的公分母即最简公分母,公分母除以原分母所得的商即为分子、分母所要乘的因式.若分母是多项式,应先把各分母分解因式,以确定最简公分母.同约分一样,分式的通分也是对分式进行恒等变形,它的依据是分式的基本性质,通分前后的分式值不变.
例5
计算.
分式的乘除法要注意运算顺序,要按照从左到右的顺序进行;
遇到除法运算要转化为乘法运算;
运算的关键是约分,当分子、分母是多项式时,一般先因式分解,再约分,使运算简化,注意计算结果应为最简分式(或整式).
例6
分式的乘方依据分式乘方的法则,在运算中要注意符号,另外不要忘记系数也要乘方.
例7
分式的加减法运算,首先要判断分母是否相同,若是同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,分子是多项式时,合并成一个分式后,原来的分子要添括号.若各分母不全相同,则应通过通分将其化为同分母分式的加减法,注意运算的结果应是最简分式(或整式).
例8
如果四个分式一起通分,每个分子都将是三个整式的乘积,运算量较大,不妨适当分组,两两组合,通分化简后再计算,较为简单.
观察每个分母,发现(x-y)(x+y)=x2-y2,而(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4,(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8,所以不妨从左到右依次通分.
将其拆成两个分式,可与前两个分式合并,以简化原式.
(4)分析:
可先将每个分式化简,再计算,可将每个分式化成一
可使运算更简便.
例9
分式的混合运算中,要注意运算顺序,对于每个分式,能约分时要先约分,可使后面的运算较为简单.
例10
化简下列繁分式.
在分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式,繁分式的化简实际上就是分式的混合运算.化简繁分式一般采取两种方法:
①可以将繁分式转化为除法进行化简,利用这种方法,要注意分数线的两个作用——除号和括号的作用;
②可以根据分式的基本性质约去分子或分母中的分母,将其化为一般分式再进一步化简.
例11
化简求值.
∵a=2,b=3
例12
已知:
a+b=3,ab=1
∵a+b=3,ab=1
例13
解下列关于x的方程.
(1)m(x-m)=n(x-n)(m≠n)
解含有字母系数的一元一次方程,注意不能用等于零的含字母的式子去乘或除方程的两边,对于字母的取值,通常会在已知条件中直接或间接地给出,如
(2)题,除题目告诉的a≠b这一条件外,隐含有a≠0,b≠0的条件.
(1)原方程变形为(m-n)x=m2-n2
∵m≠n
∴m-n≠0
(2)去分母,得ab+ax=bx-ab+ab
整理,得(a-b)x=-ab
∵a≠b
∴a-b≠0
方程两边同乘以RR1R2,得
R1R2=RR2+RR1
R1R2-RR1=RR2
R1(R2-R)=RR2
∵R≠R2,∴R2-R≠0
说明:
(1)此题是把一个公式从一种形式变成另一种形式,叫做公式变形.
(2)公式变形的实质就是解含字母系数的方程,这里,R、R2是已知数,R1是未知数,此方程可以看做是关于R1的分式方程,解时要注意分母不能为零.
例15
解方程.
解分式方程的思路是:
用最简公分母乘方程的两边,从而将分式方程转化为整式方程,再解这个整式方程,注意分式方程的根一定要检验.
(1)方程两边都乘以(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)(x-1)2-(x+1)=4
整理,得x2-3x-4=0
(x+1)(x-4)=0
∴x1=-1,x2=4
检验:
当x1=-1时,(x+1)(x-1)=0
当x2=4时,(x+1)(x-1)=5×
3=15≠0
∴x=4是原方程的根.
两边乘以(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)
(x-4)(x-5)=(x-1)(x-2)
x2-9x+20=x2-3x+2
-6x=-18
x=3
当x=3时,(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)≠0
∴x=3是原方程的根.
例16
甲、乙两队合作一项工程,原计划12天完成,他们共同合作了6天之后,乙队被调走,甲队又单独做了18天才全部完成.问甲、乙两队单独工作,各需多少天完成工程?
此题是工程问题,设工作总量为1,设甲队单独做需x天,
设甲、乙两队单独工作,分别需要x天、y天完成工程,根据题意,得到方程组:
答:
甲单独工作需36天完成工程,
乙单独工作需18天完成工程.
分式重点难点练习题
【重点、难点练习题】
一、当x取何值时,下列分式有意义?
分式的值为零?
二、计算
三、解下列分式方程
重点、难点练习题
2.当x≠-2时,分式有意义,当x=2时,分式的值为零;
3.当x≠2时,分式有意义;
x取任何实数,分式的值均不为零;
4.当x≠3且x≠4时,分式有意义;
当x=5时,分式的值为零.
三、
1.x=4;
2.x1=-1,x2=2
3.x=3
分式自测题
(一)填空
14.把含盐15%的盐水m千克与含盐25%的盐水n千克混合,则混合后盐水的浓度是_________.
15.如果a个同学在b小时内搬砖100块,那么以同样的速度,x个同学搬100块砖需________小时.
16.把a千克盐溶在b千克水里,那么在m千克这种盐水里含盐是_______.
21.若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,则
24.若1减去(1-x)的倒数的差等于(1-x)的倒数,则x=_______.
25.A,B两个水桶的容量之比为3∶4,A桶内有水56升,B桶内有水49升,如果把B桶内的水倒入A桶并加满,那么B桶内剩下的水是它的容量的一半,求两个水桶的容量.
解
设A,B两个水桶的容量分别为x升,y升.根据题意,得方程组
(二)选择
A.1;
B.±
1;
A.x=3;
B.x=-3;
C.x=±
3;
D.x=0.
A.零;
B.正数;
C.负数;
D.整数.
29.下列等式中正确的是
[
]
]
A.扩大两倍;
B.不变;
C.缩小两倍.
A.-2;
B.-1;
C.1;
D.2.
32.某人打靶,有m次是每次中靶a环,有n次每次中靶b环,则平均每次中靶的环数是
(三)计算
(四)求值
62.已知x∶y∶z=3∶4∶5,x+y-z=6,求x,y,z的值.
(五)应用题
64.甲、乙二人分别从相距36千米的A,B两地同时相向而行,甲从A地出发行至1千米时,发现有物件遗忘在A地,便立即返回,取了物件又立即从A地向B地行进,这样甲、乙二人恰在A,B中点处相遇.又知甲比乙每小时多走0.5千米,求甲、乙二人的速度.
65.甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天就完成了全部工程,已知甲队单独做所需的天数是乙队
66.某班学生利用星期天到离学校a千米的农场参加劳动,男同学骑自行车先出发1小时30分钟后,女同学乘公共汽车出发,结果男女同学同时到达农场,已知汽车速度是自行车速度的3倍,求自行车速度.
67.某工厂加工1000个机器零件以后,改进操作技术,结果工作效率提高到原来的2.5倍,因此再加工1000个机器零件时,提前15天完成,求改进操作技术后,每天加工多少个零件?
68.甲、乙两学生在400米长跑道上赛跑,第一次甲让乙先跑了25米然后甲跑,结果甲比乙早15秒钟到达终点.第二次甲让乙先跑了36秒钟然后甲跑,结果乙到达终点时甲离终点还有40米,问甲、乙两学生跑完全程各需几秒钟?
69.运动员攀登一
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- 分式 重点难点 例题 练习题 自测