数列的求和例题解析Word格式文档下载.docx
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1+
—
1+-
•,1+-
+-+•
••+&
1,
班)
1111解(声厂右2;
38…(n歹)
=(1+2+3+•••+n)+(2
2(1
尹)
n(n+1)
(2)Sn=1
32
33
34
32n
=(3盲+…+芦)+孑盲+…+尹)
11
an=1-
n1
24
二Sn=(2+2+•■
••+2)-
(1+
111
++…+n-1)
242n
Q2n
(3)先对通项求和
4-
00in
+
CXI
g
\—
L
T—
00
in
m
cxi
O)
(COUCXI)(Lucxl)co(gu寸)u
llgggcloc)(loclIT)
(CXI+UCO)(L
+(3n2)
…的前n项之和是
二—()
323n2
n
6n4
【例3】求下面数列的前n项和:
1+仁—+4,~2+7,…,—+(3n—2),
aaa
分析将数列中的每一项拆成两个数,一个数组成以
丄为公比的等
a
比数列,另一个数组成以
3n-2为通项的等差数列,分别求和后再合并.
又•••an=1123+22+•••+
61
Abn=^=6(;
21
n2=_n(n+1)(2n+1)6
n+1)
数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+-+
bn
=6[(1
nn)]
=6(1
6n
n+1选(A).
【例5】求在区间
[a,b](b>
a,
a,b€N)上分母是3的不可约分数之和.
解法一区间[a,b]上分母为3的所有分数是专
3a53b2
3,a+2,…,b—1,亍,
1为公差的等差数列.
3a4
a+1,盯,
3a
§
为首项,以
3a1
T
3b1
3a2
丁,辿它是以
124521
•-S=(a+3)+(a+-)+(a+3)+(a+-)+…+(b—-)+(b--)
12452
而又有S=(b-3)+(b--)+(b-3)+(b-3)+…+(a+-)+
(a+3)
两式相加:
2S=(a+b)+(a+b)+…+(a+b)
其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数.
即3(b—a)+1—(b—a+1)=2(b—a)
2S=2(b—a)(a+b)
S=b2-a2
【例6】求下列数列的前n项和Sn:
(2)1,4,9,…,n2,…;
解
(1)Sn=a+2a2+3a3+…+nan
•/0
aSn=a2+2a3+3a4+…+(n—1)an+nan+1
Sn—aSn=a+a2+a3+…+an—nan+1
nn1
a(1a)na
(1a)21a
⑵Sn=1+4+9+・・・+n2
(a+1)3—a3=3a2+3a+1
23—13=3x12+3X1+1
43-33=3X32+3X3+1n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n—1)+1
(n+1)3—n3=3n2+3n+1
把上列几个等式的左右两边分别相加,得
(n+1)3—13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n
22223n(n1)
=3(12+22+32+…+n2)++n
12+22+32+…+n2
=如+1)3-1-
l[n3+3n2+3n-
3n(n1)
—n]
_1
=6
+3n+1)
(2n
n+1n
1)x1(2n1)x
(1x)
(1x)2
⑷VSn=
■
Sn
2n
22
23
24
2n
两式相减,得
说明求形如{an•bn}的数列的前n项和,若其中{an}成等差数列,{bn}成等比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化归思想.
a1
【例7】设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(岂」)2,
n€N*,若bn=(—1)n•Sn,求数列{bn}的前n项和Tn・
分析求{bn}的前n项和,应从通项bn入手,关键在于求{an}的前n项
和Sn,而由已知只需求{an}的通项an即可.
解法一•-{an}是等差数列,Sn=(^—)2
当n=1时,a1=(冷)2解得a1=1
当n=2时,a1+a2=)2解得a2=3或a2=—1
当n=3时,a1+a2+a3=()2,由a2=3,解得a3=5或a3=
—3,由a2=1,解得a3=1.
ai
又Sn=(—)>
0,二a2=—1,a3=—3,a?
=1(舍)
即a〔=i,a2=3,a3=5,「.d=2
an=1+2(n—1)=2n—1
Sn=1+3+5+・・・+(2n—1)=n
bn=(—1)n・Sn=(—1)「n2
Tn=—12+22—32+42—…+(—1)n•n2
当n为偶数时,即n=2k,k€N*
Tn=(—12+22)+(—32+42)+•••+[—(2k—1)2+(2k)2]
=3+7+-+(4k—1)
=[3+(4k1)]•k
=2
=(2k+1)k
=n(n1)
=2
当n为奇数时,即n=2k—1,k€N*
Tn=—12+22—32+42—…—(2k—1)2
=—12+22—32+42—…一(2k—1)2+(2k)2—(2k)2
=(2k+1)k—(2k)2
=—k(2k—1)
n(n1)
Tn=(-1)n•“;
1)n€N*
a1=1
(蔦
解法二取门=1,贝Va1=(—)2;
•an丰—1…an=2n—1以下冋解法一.
说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索,运用方程思想,求数列
{an}的通项an,在求数列{bn}的前n项和中,通过化简、变形把一般数列的求
和问题转化为等差数列的求和问题.由于(一1)n的作用,在变形中对n须分两
种情况讨论
项数为3b—3a+1,其和S=,(3b—3a+1)(a+b)
其中,可约分数是a,a+1,a+2,…,b
其和S'
=^(b—a+1)(a+b)
故不可约分数之和为
S—S'
=2(a+b)[(3b—3a+1)—(b—a+1)]
=b2一a2
解法
...$=土+沁+心+沁++3b2
3333
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