等差数列的前n项和Word下载.docx
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实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为
I]
A・1,3,5B・1,3,7
C・1,3,99D・1,3,9
解C由题设2b二a+5a=>
b=3a
又•••14=5a+3b>
a=Lb=3
•••首项为1,公差为2
,n(n-l)
又S=na.+d
n12,n(n-1).
•••2500=n+———-•2An=50
2
/.a5Q=c=1-b(50—1)•2=99
/.a=Lb=3,c=99
【例4】在1和2之间插入2n个数,组成首项为1.末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9:
13,求插入的数的个数.
解依题意2=l+(2n+2—l)d
①
前半部分的和Sn+I=(n+1)+②
后半部分的和S;
+1=(n+l)・2+(n4~1)n・(~d)③
s
由已知,W—
nd
(n+l)(l+—)9
n+l=2=
n+,(n+l)(2-y)13
1+V9化简’得Ttf
2-—
2解之,得nd二春由①,有(2n+l)d=l
由④,⑤,解得d=-j-j-»
n=5
・•・共插入10个数.
【例5】在等差数列伽}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m^n,
求Sm+n・
解TSm+n=(m+n)a|+*(m+n)(m+n—l)d
=(m+n)[a|+£
(m+n—l)d]
ma(+—m(m—l)d=na】+牙n(n—1)d
厶乙
整理得(m—n)a】—(m—n)(m+n—1)=0
EP(m—n)[a|+—(m+n—l)d]=0
由mHn,知a】+*(m+n—l)d=0
••Sm+n=°
【例6】已知等差数列{aj中,S3=2hS6=64.求数列{lanl}的前n项和几・
分析等差数列前n项和S“=:
na|+出牛丄d,含有两个未知数眄,
d,已知S3和S6的值,解方程组可得列与d,再对数列的前若「•项的正负性进行判断,
则可求出Tn来.
解设公差为d,由公式Sn=na,+^^d
3d[+3d=21ba,+15d=24
解方程组得:
d=-2,ai=9
/.an=9+(n—l)(n—2)=—2n+11
由an=-2n+ll>
0得n<
y=5.5,故数列{a.}的前5项为正,其余各项为负.数列{aj的前n项和为:
Sn=9n+—亍丄(-2)=-n2+10n
•••当nW5时,Tn=-n2+10n
当n>
6时,Tn=S5+ISn-S5l=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn
Z.Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
Tn=—n2+lOnnW5
即{?
n^N*
rr—10n+50n>
6
说明根据数列{刚}中项的符号,运用分类讨论思想可求{lanl}的前n项和.
【例7】在等差数列{aj中,已知a6+a9+a]2+a]5=34,求前20项之和.
解法一由a6+a9+a]2+ai5=34
得4a]+38d=34
.20X19
又S2°
=20a|+—^-d
=20a1+190d
=5(4iq+38d)=5X34=170
翻—e(Ji+a2o)X2Oirxz丄-、
解法一-^20二2二°
(J]+J0)
由等差数列的性质可得:
a6+a15=a9+a12=al+a20Aal+a20=17
S2o=17O
【例8】已知等差数列{aj的公差是正数,且a3・a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S2o的值.
解法一设等差数列{窃}的公差为d,则d>
0,由已知可得
(at+2d)(3[+bd)=—12①
ai+3d+a|+5d=—4②
由②,有a】=—2—4d,代入①,有d?
=4
再由d>
0,得d=2・・・ai=_10
最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180
解法二由等差数列的性质可得:
即83+^7=_4
又a3•aj=—12,由韦达定理可知:
a3,a7是方程x2+4x-12=0的二根
解方程可得X]=—6,X2=2
•••d>
0A{an}是递增数列
a^=—69aj=2
a7-a,
d=——=2tU|=—10,S20=180
【例9】等差数列{an}.{"
}的前n项和分别为Sn和T”若
3】00_3】+ai99bioo
二2X199上
b】+b⑼3X199+1299
解法二
利用数列{如}为等差数列的充要条件:
Sn=an2+
bn
•••Sn_2n
•Tn-3n+l
可设Sn=2n^ktTn=n(3n+l)k
••玉=Sn-Sn“=2i「k-2(n-1)5
bnT“—Tn-n(3n+l)k—(n—l)[3(n—1)+l]k
4n-22n-1
6n-23n-1
.alw2X100-1199
•忆一3X100—1"
299
说明该解法涉及数列{aZ为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由
S2n
己知汙=」7,将$“和1;
写成什么?
若写成Sn=2nk,Tn=(3n+l)k,
Tn3n+l
k是常数,就不对了.
【例10]解答下列各题:
(1)已知:
等差数列{an}中a2=3,ae=_17,求ag:
(2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数:
(3)已知:
等差数列{aj中,a4+a6+ai5+ai7=50,求S20;
(4)已知:
等差数列{aj中,an=33-3n,求Sn的最大值.
分析与解答
-17-3
(l)a6=a2+(6—2)dd=—-—二一5
玄9=玄6+(9—6)d=—17+3X(—5)=—32
(2)a]=19,an+°
=89,=1350
2X1350
=25
19+89
35
an+2二a25:
q+24d%
故这几个数为首项是21昔,末项是86右,公差为罟的23个数.
(3)Va4+ae+5+^17=50
又因它们的下标有4+17=6+15=21
/.aq+a17=a6+a]5=25
(a.+a70)X20
S20=——~Y——=10X(a4+a17)=250
(4)Van=33-3nAa!
=30
(a】+a)•n(63-3n)n3.63
S=t2==-—n"
+—n
n2222
321.3X212
=p(n-㊁)-+r—
VnGN,•••当i=10或n=ll时,S[】取最大值165.
【例11]求证:
前n项和为4n2+3n的数列是等差数列.
证设这个数列的第n项为an,前n项和为S*.
当n^2时,an=Sn-SIvl
/.an=(41Q+3n)—[4(n一1)2+3(n—1)]
=8n-l
'
"
in=l时,a】=S]=4+3=7
由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有an=8n-l
又an+i—an=[8(n+l)—1]一(8n—l)=8
••・这个数列是首项为7,公差为8的等差数列.
说明这里使用了“an=Sn-Sn_i”这一关系.使用这一关系时,要注意,它只在n>
2时成立.因为当时,Sn_i=S0.而So是没有泄义的.所以,解题时,要像上边解答一样,补上n=l时的情况.
【例12】证明:
数列伽}的前n项之和Sn=an2+bn(a.b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件.
证n
由Sn=an2+bn,得
当n^2时,an=Sn-Sn_i
—an-4-bn—a(n—1卩一b(n—1)
=2na+b—a
a]=S]=a+b
•:
对于任何nGNtan=2na+b—a
且an~an.j=2na+(b—a)—2(n—l)a—b+a
=2a(常数)
/.{an}是等差数列.
n(n一1)
S=皿]+d
n12
(1+n)•n
若{如}是等差数列,则
-2+n(ai_d)
d.d
=2n+n(ai-㊁)
若令^-=a,则a]—»
=b,即
Sn=an-+bn
综上所述,Sn=an2+bn是{如}成等差数列的充要条件.
说明由本题的结果,进而可以得到下而的结论:
前n项和为Sn=an2+bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上,设数列为{%},贝%
充分性c=O=>
Sn=an2+bn^>
{un}是等差数列.
必要性{i*}是等差数列=>
Sn=an'
+bn=>
c=O.
【例13]等差数列{aj的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m>
n),求前m+n项和
Sm+n・
解法一设{如}的公差d
12
m+n—1
=(m+n)(a]+•d)
=—(m+n)
解法二设Sx=Ax2+Bx(xGN)
Anr+Bm=n
An2+Bn=m
①一②,得A(nr—n-)+B(m—n)=n—in
TmHnA(m+n)+B=—1
故A(m+n)2+B(m+n)=—(m+n)
即Sm+n=-(m+n)
说明aPd是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素.再
解决其它问题,但本题关键在于求出了a*'
;
亠=-1,这种设而不
解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等差数列,由例22♦故可设Sx=Ax?
+Bx・(xGN)
【例14]
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