最新二次根式复习讲义Word文档格式.docx
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A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
【例3】若y=\x-5+扌5-x+2009,则x+y=
x-5_0
解题思路:
式子Ja(a为),彳,x=5,y=2009,则x+y=2014
I5-X"
1'
右.x-1-.1-x=(xy),则x一y的值为()
A1B.1C.2D.3
2、若X、y都是实数,且y=2x-3■3-2x•4,求xy的值
3、当a取什么值时,代数式2a11取值最小,并求出这个最小值。
4、已知a是5整数部分,b是
b十2
5、若.3的整数部分是a,小数部分是b,^U、.3a-b二。
21x+—
6、若,17的整数部分为x,小数部分为y,求xy的值.
知识点二:
二次根式的性质
1.非负性:
〜心一0)是一个非负数.
注意:
此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.
2.(.a)2二a®
0).
此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代
数式写成完全平方的形式:
a=(.、a)2(a_0)
3.肩柏屮严0)
-a(acO)
(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
一2a(a_0)-2
4.公式.a2=|a|与(...a)2二a®
_0)的区别与联系
「a(a<
0)
(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.
(2)(,a)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.
(3)'
•.a2和(,a)2的运算结果都是非负的.
[例4】若aT+"
+(c-4)2=0,则a_b+c=
1、若-3(n•1)2=0,贝Um•n的值为
2、已知x,y为实数,且、x-1,3y-22=0,贝Ux-y的值为()
A.3B.-3C.1D.-1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足丨x2—4丨+y2-5y*6=0,则第三边长为
2005
4、若a-b*1与Ja+2b+4互为相反数,则(a-b)=
■図=:
=J8j^l&
sK®
ttJR2(公式(>
/a)2=a(a王0)的运用)
【例5】化简:
a-1
+(硏3)2
的结果为(
)
A、4—2a
B、0C、2a—
4D、4
1、在实数范围内分解因式
x3=
42
;
m—4m+4
x4_9=,X_2迈x+2=
2、化简:
、、3-、31-3
a(a("
0)o)的应用)
-a(a:
:
0)
3、已知直角三角形的两直角边分别为、,2和-.5,则斜边长为
OH:
二次拠tf3(公式.a2二a二
【例6】已知x:
:
2,则化简.x2-4x4的结果是
A、x_2B、x2C、_x-2D、2-x
1、根式U-3)2的值是()
A.-3B.3或-3C.3D.9
2、已知a<
0,那么Ia—2a|可化简为()
A.—aB.aC.—3aD.3a
3、若2Ya<
3,则、.2-aa-3等于()
A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2aT
4、若a-3v0,则化简"
—6a+9+4_a的结果是()
(A)—1(B)1(C)2a—7(D)7—2a
..2
5、化简.4x-4x1:
、f2x-3得()
(A)2(B)-4x4(C)—2(D)4x—4
a2-2a1
2
6、当avl且a丸时,化简a-a=
7、已知a^O,化简求值:
宀^;
)'
…-;
)2
【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简|
+•.(a-b)2的结果等于()
(A)x为任意实数(B)1(C)x羽
A.a>
4b.a<
2
1、如果a「a2-6a9=3成立,那么实数a的取值范围是()
A.a乞OB.a乞3;
C.a_—3;
D.a_3
2、若.;
(x-3)2•x-3=0,贝yx的取值范围是()
m.l—a=
2、把根号外的因式移到根号内:
当b>
0时,一*'
'
x=
x
知识点三:
最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式:
(1)最简二次根式的定义:
①被开方数是整数,因式是整式;
②被开方数中不含能
开得尽方的数或因式;
分母中不含根号.
2、同类二次根式(可合并根式):
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二
次根式,即可以合并的两个根式。
【例11】在根式1)-a2b2;
2h,;
;
3)、、x2-xy;
4).27abc,最简二次根式是()
掌握最简二次根式的条件。
D•、、2
B..3
F列根式不是最简二次根式的是()
F列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?
为什么?
8xy
把下列各式化为最简二次根式:
(1)12
⑵■45ab
1、下列各组根式中,
是可以合并的根式是(
A、.3和.18
B、
a2b和ab2
D、a1和a-1
2、在二次根式:
①
屁:
②<23:
③:
④J27中,能与恵合并的二次根式
3
3、如果最简二次根式、3a-8与"
7-2a能够合并为一个二次根式,则
a=
知识点四:
二次根式计算一一分母有理化
1.分母有理化
定义:
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2•有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互
为有理化因式。
有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:
禾U用\a\a=a来确定,女口:
.a与.a,.ab与■■一ab,■.a-b与
.a-b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式:
利用平方差公式来确定。
如a•b与a-用,-、ab与a-b,
a、、xby与a-、x-b;
y分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤:
1先将分子、分母化成最简二次根式;
2将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
3最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【例13】把下列各式分母有理化
【例14】把下列各式分母有理化
【例15】把下列各式分母有理化:
小结:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①丄:
与丄:
③:
一与7_-!
'
■
④\•上•宀二与;
/lJ'
j:
知识点五:
二次根式计算——二次根式的乘除
1•积的算术平方根的性质:
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
>
/ab=Vb(a为,b为)
2•二次根式的乘法法则:
两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
罷•&
=•(a丸,b丸)
3•商的算术平方根的性质:
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根
[aVa诟二尿(a初,b>
0)
4•二次根式的除法法则:
两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.
【例16】化简
1x..62.3
【例17】计
2而冥;
(4)
4耶
(8)
(5)、、-二
a+2
+2
【例19】计算:
V64
(4)扁
⑵
8
⑶
4
(x-0,y0)
X_\X
X的取值范围是(
【例20】能使等式:
X-2.X-2成立的的
A、X2B、X_0C、O^X乞2D、无解
知识点六:
二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,
再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开
得尽的因数.
【例20】计算
(1)-,32205-3..;
I;
5
丄届-3£
+4石
2'
6^-3272鬲3心7、而
(5)V81a3-5afa+—\[4a(6)x/x^+I—+—+2
ayy\xy
知识点七:
二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序;
2、灵活运用运算定律;
3、正确使用乘法公式;
4、大多数分母有理化要及时;
【典型习题】
1、22b5(-323b)“3.b
b2'
a
2、.:
(2〔12
3、1•-^^~)+1
—2
4、(•一72
2+J:
5、(2..33・2-、、6)(2、、3-3・.2.6)
6、(32.5)2
)3-76
_(4...5)(4_5)
+4
5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;
7、(2、、6-5)10(2、6-5)11
8、丁9m—(10口』匹一2m2、;
丄)(m>
3.25m
-Act+4*-2逢+1
【例21】1.已知:
1—一,求二一■-的值.
y/5+1+x+1
2.已知一,求J的值。
3.已知:
“,「一:
,求IV-<
--的值.
4.求.'
的值.
5.已知丄、是实数,且’一一,求1丫—的值.
知识点八:
根式比较大小
1、根式变形法当a0,
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