微积分公式手册.docx
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微积分公式手册
微积分公式
-导数公式:
2
In二sinnxdx
•fx2a2dx=
xdx2In,
cosn
°・2・
一Vxa/一In(x+Px‘十a')+C2
2
\xJ-aJdx
一….•一—2『
=x—blnx+Jx「矿+C
22-
2
9
“a2-x2dx产一arcsin一C
三角函数的有理式积分:
a+Pa-P
•倍角公式:
高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz)公式:
n
(n)k(n*"t(k)
(UV)CnUV
k=0
『vnulE1un(nT)__(n-k1)u(n%(kjpuv(n)
91k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)-f(a)二f0(b-a)
柯西中值定理:
驾一驾4
F(b)-F(a)F徉)
当F(x)二x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:
MM弧长。
弧微分公式:
ds二*u+y/z2dx,其中y〃=tga
平均曲率:
R-T[.):
•:
从財点到必点,切线斜率的倾角变化量.
的圆:
K
定积分的近似计算:
b
矩形法:
f(X)
a
b
梯形法:
f(x)
a
b
抛物线法:
f(x)
a
(y。
Ynj)
yz)4(%y八
定积分应用相关公式:
功:
W=Fs
水压力:
F二p・A
引力:
F二k哼,k为引力系数
r
b
函数的平均值:
,f(x)dx
a
b
均方根:
7_a・f2(t)dt空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
dtmjM?
=J(x2_xj2+(y2_yj2+(z2_zj2向量在轴上的投影:
Prju
ABABcos®,半是AB与u轴的夹角。
Prju(aia?
-PrjaiPJa?
ab=abcos&=axbv+ayby+a2b2,是一个数量
ijk
c=a3
axayaz,c=absinO例:
线速度:
J=bxbybz
代表平行六面体的体积
平面的方程:
1、点法式:
A(x-Xo)B(y一y。
)C(z~zo)=0,其中n二{A,B,C},M°(x。
y。
,Z。
)
2、一般方程:
AxByCzD=03、截距世方程:
--=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
d二丄7严期
JaWt
j_x二Xomt
空间直线的方程:
—_二一二一=t,其中s={m,n,p};参数方程:
:
y=y0+ntmnp
、z二z°+pt
二次曲面:
1、
椭球
ab2
+z=1c2
22
2、
抛物面:
=z,(p,q同号)
2p2q
3、
双曲面:
222
单叶双曲
X
y
Z胡
abc
双叶双曲
%芯吕
=1(马鞍面)
面・
多元函数微分法及应用
全微分:
dz二一dx+―dydu二
・X:
y
dx+一dy+一dz
;:
x;y
全微分的近似计算:
:
Z多元瘦合函薮的耒导法:
dz二fx(x,y).:
xfy(x,y).
dz
:
Z:
ll:
z
:
V
dt
:
U・:
t
:
V:
t
;z?
z
:
U・z:
V
z=f[u(x,y),v(x,y)]
X
UXVX
当u二u(x,y),v二v(x,y)时,
dudxdy
jr\1.“
dvdxdy
xzy
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)=0,
dy
厶
歸匸卡+环乍dx
dxFy
隐函数F(x,y,z)=0,
CZFy
;xFz
cyFz
cF
cF
隐函数方程组产,
uv)_o
」(F,G)_
貞
dv
Q(x,y
U,v)=0
点(u,v)
cG
cG
ru
cv
:
U1:
:
・V1;:
(F,G)
(F,G)
—
:
XJ;
:
(u,x)
:
XJ;(x,v)
L=1:
:
(F,G)
微分法在几何上的应用:
FuFv
|Gu
Gv
x二(t)
空间曲线《y「(t)在点Md。
'
y。
'z))处的切线方程:
令也二看上二宁直z「(t)
000
在点M处的法平而方程:
,:
(t°)(x~Xo)(t°)(y_y°)
(tc)(z_Zo)=0
若空间曲线方程为:
f(x,打z〃°则切向量t曲面F(x,y,z)=0±G(x,y,z)=0一点M(x。
yo,Zo),则:
FyFzFzFxFx
GyGz6
GxGx
1、过此点的法向量:
n={Fx(x°,yjZo),Fy(x。
,yj
F
y}
Gy
zo),Fz(x。
,z。
)}
2、过此点的切平面方程:
Fx(Xo,y。
,Zo)(x-x。
)Fy(Xo,y。
,Zo)(y—y。
)Fz(x。
,y。
,z。
)(z-zo)=0
3、过此点的法线方程:
yo
Fx(Xo,y°,Zo)Fy(Xo,y°,Zo)Fz(Xo,y°,Zo)
方向导数与梯度:
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为:
其中「为X轴到方向I的转角。
函数z二f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)-if
_cos'sin,clexcy
它与方向导数的关系是二gradf(x,y)e,其中e二cos一:
d
单位向量。
•丄是gradf(x,y)在1上的投影。
cl
多元函数的极值及其求法:
设fx(x-,yo)=fy(Xo,y。
)=0,令:
fxx(Xo,y°)=A,fxy(x。
,
y
-si,为I方向上的
y。
)二B,fyy(Xo,y。
)=C'A
AC-B2>0时,
则:
AC-BXO时,
ACB2=0时,
<0,(xo,yo)为极大值
A>0,(x0,y0)为极小值
无极值
不确定
重积分及其应用:
11f(x,y)dxdy二f(rcos\rsinJrdrd)
DD'
曲面z=f(x,y)的面积力二11+dxdy
d
x〃x,y)d匚平面薄片的重心:
x二匹D
M〃P(x,y)cT
D
平面薄片的转动惯量:
对于X轴lxZly2r(x,y)d;1对于
D
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a.),(a凡★亠叫,d(x2y2a2)2I
Fyf・亠叫,
D/・2.少
・・y'(x,y)d二
—D_―
”P(x,y)d仃
D
y轴ly二x2「(x,y)d—
D
0)的引力:
F-{Fx,Fy,Fz},其中:
庄faJJ仏3
d(/v2a2V
柱而坐标和球而坐标:
x=rCOSTHIf(x,y,z)dxdydz=F(r,v,z)rdrdvdz,QQ
柱面坐标:
y=rsinv,其中:
F(r“,z)=f(rcosjrsinyz)
'Z_z・<
I-x=rsincos
球面坐标:
*y=rsin申sinO,dv=rd护rsin申,d日,dr=r2sin川drd川dB
z=rcos®
2兀JT
22
'!
!
f(x,y,z)dxdydz:
ijjF(r,Dr2sindrdd'•d[d「F(r,」[r'sindr
000
重心:
X
二丄iiixSv,
y二丄iiiySv,
z二丄iiiz^dv,
其中M=x:
Hidv
M三
M&
MQ
Q
转动惯量:
Ix—(y2
Z2)rdv,Iy-G
:
2z2)rdv,I:
:
—(x2y2)rdv
Q
Q
Q
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分八
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
丿X”%),P),则:
』刖(t)
P
f(x,y)ds二f[r(t)r(t)]r2(t)2(t)dt(:
:
:
1)特殊情况:
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
•{P[「(t)「(t)]「(t)Q[
设L的参数方程为丿x=®(t),贝IJ:
片屮⑴
P(x,y)dxQ(x,y)dy
L
两类曲线积分之间的关系:
Pdx•Qdy二(PCOSHgeosJds其中:
•和]分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
P
格林公式:
I1
(一)dxdy二
dEx点'
当P二-y,Q二x,即:
卫-兰=2时,得到D的面积:
A二dxdy二丄•xdy-ydx泳纲d2l平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且」二-Po注意奇点,女1:
1(0,0),应孜cy
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
:
Q:
P在一二一时,pdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
・xzy
(X,y)
u(x,y)二P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x。
二y。
二Co
(勺必)
曲面积分:
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds=[ff[x,y,z(x,y)]{l+z;(x,y)+z:
(x,y)dxdyiD对坐标的曲面积分:
IIP(X,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:
z
R(x,y,z)dxdy二R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
丈Dx-/
..P(x,y,z)dydz一.P[x(y,z),y,zjdyd乙取曲面的前侧时取正号;
士5
.Q(x,y,z)dzdx二Q[x,y(z,x),zjdzdx取曲面的右侧时取正号。
壬加
两类曲面积分之间的关系:
PdydzQdzdxRdxdy二(Pcos:
Qcos:
Rcos)ds
zz
高斯公式:
-p:
Q.:
R
:
Qcos:
Rcos)ds
11i()dv二PdydzQdzdxRdxdy二(Pcos
「討厂<
高斯公式的物理意义
通量与散度:
散度:
div.二兰•卫•一,即:
dx£y
单位体积内所产生
cz
的流体质量,
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- 微积分 公式 手册