学年湖南师大附中高一下学期期末考试 数学解析版.docx
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学年湖南师大附中高一下学期期末考试数学解析版
2017-2018学年湖南师大附中高一下学期期末考试数学
时量:
120分钟 满分:
150分
得分:
____________
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题:
本大题共11个小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若a,b,c是平面内任意三个向量,λ∈R,下列关系式中,不一定成立的是
A.a+b=b+aB.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=λa
2.下列命题正确的是
A.若a、b都是单位向量,则a=b
B.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形
C.若两向量a、b相等,则它们是起点、终点都相同的向量
D.与是两平行向量
3.cos12°cos18°-sin12°sin18°的值等于
A.
B.
C.-
D.-
4.函数f(x)=
的最小正周期为
A.
B.
C.πD.2π
5.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是
A.|a+b|≤|a|+|b|B.|a|-|b|≤|a+b|
C.|a|-|b|≤|a|+|b|D.|a|≤|a+b|
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,则f(π)=
A.-
B.
C.
D.-
7.如图,角α、β均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A、B,则·=
A.sin(α-β)B.sin(α+β)
C.cos(α-β)D.cos(α+β)
8.已知
<α<
,且sinα·cosα=
,则sinα-cosα的值是
A.-
B.
C.
D.-
9.已知α∈
,cos
=
,则sinα的值等于
A.
B.
C.
D.-
10.将函数y=3sin
的图象向右平移
个单位长度,所得图象对应的函数
A.在区间
上单调递减
B.在区间
上单调递增
C.在区间
上单调递减
D.在区间
上单调递增
11.设O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的三点,动点P满足=+λ,λ∈
,则点P的轨迹必经过△ABC的
A.外心B.内心C.重心D.垂心
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
二、填空题:
本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线x=
是函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的一条对称轴,则实数φ的最小正值为________.
13.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.
14.已知⊥,·=1.点P为线段BC上一点,满足=+.若点Q为△ABC外接圆上一点,则·的最大值等于________.
三、解答题:
本大题共3个小题,共30分.
15.(本小题满分8分)
已知
=1.
(1)求tanα的值;
(2)求tan
的值.
16.(本小题满分10分)
已知向量a=(
sinα,1),b=
.
(1)若角α的终边过点(3,4),求a·b的值;
(2)若a∥b,求锐角α的大小.
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin
sinx-
cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在
上的单调性.
第Ⅱ卷(满分50分)
一、填空题:
本大题共2个小题,每小题6分.
18.两等差数列{an}和{bn},其前n项和分别为Sn、Tn,且
=
,则
等于________.
19.设函数f(x)=
的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
二、解答题:
本大题共3个小题,共38分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:
BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.
21.(本小题满分13分)
在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=
,∠A=120°,BD=3.
(1)求AD的长;
(2)若∠BCD=105°,求四边形ABCD的面积.
22.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R).
(1)当b=-1时,函数f(x)恰有两个不同的零点,求实数a的值;
(2)当b=1时,
①若对于任意x∈[1,3],恒有
≤2
,求a的取值范围;
②若a>0,求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值g(a).
湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末考试
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
A
C
D
B
C
B
C
B
D
1.D 【解析】选项A,根据向量的交换律可知正确;选项B,向量具有数乘的分配律,可知正确;选项C,根据向量的结合律可知正确;选项D,a,b不一定共线,故D不正确.故选D.
2.D 【解析】A.单位向量长度相等,但方向不一定相同,故A不对;B.A、B、C、D四点可能共线,故B不对;C.只要方向相同且长度相等,则这两个向量就相等,与始点、终点无关,故C不对;D.因和方向相反,是平行向量,故D对.故选D.
3.A 【解析】cos12°cos18°-sin12°sin18°=cos(12°+18°)=cos30°=
,故选A.
4.C 【解析】函数f(x)=
=
=
sin2x的最小正周期为
=π,故选C.
5.D 【解析】由向量模的不等关系可得:
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
|a+b|≤|a|+|b|,故A恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|,故B恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,故C恒成立.
令a=(2,0),b=(-2,0),则|a|=2,|a+b|=0,则D不成立.故选D.
6.B 【解析】根据函数的图象A=
.
由图象得:
T=4
=π,
所以ω=
=2.
当x=
时,f
=
sin
=0,
∴
+φ=kπ,φ=-
+kπ.k∈Z.
由于|φ|<
,取k=1,解得:
φ=
,所以f(x)=
sin
.
则:
f(π)=
,故选B.
7.C 【解析】根据题意,角α,β均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,
则A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
则有·=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β);
故选C.
8.B 【解析】∵(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α
=(sin2α+cos2α)-2sinαcosα;
又∵sin2α+cos2α=1,sinαcosα=
,
∴(sinα-cosα)2=1-2×
=
;
得sinα-cosα=±
;
由
<α<
,知
,故有sinα-cosα>0, 则sinα-cosα的值是 .故选B. 9.C 【解析】∵α∈(0, ),∴ +α∈ , 由cos = ,得sin = = , 则sinα=sin =sin cos -cos sin = × - × = .故选C. 10.B 【解析】将y=3sin 的图象向右平移 个单位长度后得到y=3sin ,即y=3sin 的图象,令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,化简可得x∈ ,k∈Z,即函数y=3sin 的单调递增区间为 ,k∈Z,令k=0,可得y=3sin 在区间 上单调递增,故选B. 11.D 【解析】由题意可得-==λ, 所以·=λ =λ=0,所以⊥,即点P在BC边的高所在直线上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心,故选D. 二、填空题 12.π 【解析】(略) 13.- 【解析】sinα+cosβ=1, 两边平方可得: sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①, cosα+sinβ=0, 两边平方可得: cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②, 由①+②得: 2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1, ∴2sin(α+β)=-1. ∴sin(α+β)=- . 14. 【解析】∵⊥,||·||=1,建立如图所示坐标系,设B ,C(0,t),= ,=(0,t),=+=t + (0,t)=(1, ),∴P(1, ), ∵P为线段BC上一点,∴可设=λ,从而有 =λ ,即 解之得t= . ∴B ,C .显然P 为BC中点,∴点P为△ABC外接圆圆心.Q在△ABC外接圆上,又当AQ过点P时有最大值为2= , 此时与夹角为θ=0°,cosθ=1.∴ = × = . 三、解答题 15.【解析】 (1)由题意,cosα≠0,由 =1,可得 =1, 即5tanα-1=1+tanα,解得tanα= .(4分) (2)由 (1)得tan2α= = , tan = =-7.(8分) 16.【解析】 (1)角α的终边过点(3,4),∴r= =5, ∴sinα= = ,cosα= = ; ∴a·b= sinα+sin = sinα+sinαcos +cosαsin = × + × + × = .(5分) (2)若a∥b,则 sinαsin =1, 即 sinα =1, ∴sin2α+sinαcosα=1, ∴sinαcosα=1-sin2α=cos2α, 对锐角α有cosα≠0, ∴tanα=1, ∴锐角α= .(10分) 17.【解析】 (1)f(x)=sin sinx- cos2x =cosxsinx- (1+cos2x) = sin2x- cos2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为 .(6分) (2)当x∈ 时,0≤2x- ≤π,从而当0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增; ≤2x- ≤π即 π≤x≤ 时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在 上单调递增;在 上单调递减.(12分) 18. 【解析】 = = = . 19.2 【解析】可以将函数式整理为f(x)= =1+ ,不妨令g(x)= ,易知函数g(x)为奇函数关于原点对称,∴函数f(x)图象关于点(0,1)对称.若x=x0时,函数f(x)取得最大值M,则由对称性可知,当x=-x0时,函数f(x)取得最小值m,因此,M+m=f(x0)+f(-x0)=2. 20.【解析】 (1)如图,取PD中点M,连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点,故EM∥DC,且EM= DC,又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM. 因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,从而CD⊥平面PAD,因为AM
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