周世勋量子力学教案2Word文档下载推荐.docx
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|列
止球(忌”和)=U|①dr
归一化条件:
在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定
j|4>
|2dr
重新定义波函数.mu
■-f-■1--1叫归一化的波函数。
Ji甲F国£
=Jcjefdr=\
在时刻t、在坐标(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度,用表示,则
f|^|adr
只有]有限时才能归一化为
经典波和微观粒子几率波的区别:
(1)经典波描述某物理量在空间分布的周期变化,而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布;
(2)经典波的波幅增大一倍,相应波动能量为原来四倍,就变成另一状态了;
而微观粒子在空间岀现
的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点岀现的几
率,即将波函数乘上一个常数,所描述的粒子的状态并不改变;
(3)对经典波,加一相因子,状态会改变,而对几率波,加一相因子,-:
不会引起状态改变。
问题:
设波函数为J,求在(二恳4=)范围找到粒子的几率。
在球坐标系中,粒子波函数表示为*’乞二,求(a)在球壳.■/中找到粒子的几率
(b)在-;
方向的立体角,-中找到粒子的几率。
2.2态迭加原理
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。
微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原
理:
态迭加原理表现。
经典的波是遵从迭加原理的,两个可能的波动过程与一的线性迭加a%+占血
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。
量子力学的态迭加原理:
如果[和1是体系的可能状态,那么它们的线性迭加:
-:
-一(九巾是
复数)也是这个体系的一个可能状态。
电子双缝衍射:
设-1表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态,设表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。
表
|靈卩十禺+內巴|冷5蜀|3+6竖|2壮;
6%巴+*;
蜀雪
正是干涉项的存在,才有了衍射条纹。
经典的态具有正交性,而量子态具有相干性。
空=5蜀+5巴+…+6瓦+…
也是这个体系的一个可能状态
.任意时刻质点的状态
经典力学质点运动:
初始状态(位置、速度)
2.3薛定谔方程
薛定谔在1926年建立了薛定谔方程
对波函数所满足的方程的要求:
(1)线性方程,迭加原理的要求;
(2)方程系数不含状态参量(动量、能量),各种可能的状态都要满足方程。
建立过程:
自由粒子波函数所满足的方程推广到一般。
对时间求偏微商:
&
旦十%)
如存在势能”,能量和动量的关系是:
:
-
波函数应满足的微分方程是;
ih—=di2“
这个方程称为薛定谔方程。
自由粒子的波函数为平面波:
就可得到薛定谔方程。
注意:
薛定谔方程是建立起来的,而不是推导出来的,它是量子力学中的一个基本假设,地位同牛顿力学中的牛顿方程。
它的正确性由方程得岀的结论与实验比较来验证。
多粒子体系的薛定谔方程,设体系有N个粒子,)11•分别表示这N个粒子的坐标,体系的状态
波函数为:
}H,体系的势能为-'
'
「I"
—•'
,则体系的能量可写成
E~ih+.X,r-r
上式两边乘以波函数=,并作代换:
上,:
■
-4.a-rd*d
Vj+j4-i
其中:
…;
“匸
iA—=-^—V^T+i7(r)T就得到多粒子体系的薛定谔方程:
门T'
…
2.4粒子流密度和粒子数守恒定律
-■'
:
则几率密度为
w(r,£
)=
•连续性方程
设描写粒子的状态波函数为:
几率密度随时间的变化率是
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
将上两式代入得
Aja4fc
一=-=—V(^*VT-TV1?
)
观2"
3
.■fc
J-—-T*VT)
2A
—+7J=0
则:
…,连续性方程。
上式两边对空间任意一体积V积分
[—dT=—\w^r=-[VJdz
Mdtdtiv”
利用高斯定理得:
L譽心护辰J声
「应解释为几率流密度矢量。
单位时间内体积V中增加的几率,等于从体积V外部穿过V边界面S而流
进V内的几率。
如果波函数在无穷远处为零,将积分区域V扩展到整个空间,则
则它将保持归一性,
即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关,这反映了粒子数守恒。
如波函数是归一的,而不随时间改变。
质量密度一,质量流密度:
「―Zf【
同理,定义电荷密度:
汽三「:
电流密度:
••=,可得量子力学中的电荷守恒定律。
•波函数的标准条件
有限性、连续性、单值性
2.5定态薛定谔方程
一.定态薛定谔方程
当势能与时间无关时,我们可用分离变量法将方程简化
亨仲)二帅)北),
jA—=+
带入:
‘•^,并把方程两边用|?
.■■去除
-^•=1[-—
Jdt02/
可解出:
■■一'
,则扛f丿一抄八吩*,定态波函数。
-—-V2^+U(r)!
^=总屮
叫定态薛定谔方程。
•定态下的一些特点
定态:
能量具有确定值;
定态波函数所表示的状态。
在定态中,几率密度和几率流密度都与时间无关。
2.6—维定态问题
•一维定态波函数的一般性质
对一维定态问题,薛定谔方程为
h2&
彳d2,2wr_T_..n.
—^+―[s-/w]^=o
2耕axaxII
定理一:
设•.是方程的一个解,对应能量为E,则押’㈡也是方程的一个解,对应能量也为E。
证明:
八、•叮-■■:
,一_对方程两边取复共轭,利用
U2j2
[一)臭十%打财(盘)=应/⑴
ax
满足相同的方程,对应的能量都是Eo
E;
则
,或奇
定理二:
设具有空间反射不变性,即匸〕,如、•、为方程的一个解,对应能量为
--也为方程的一个解,对应能量也是Eo
定理三:
当◎=◎)时,如无简并,方程的解有确定的宇称。
即偶宇称:
呦-忑)=财>)
宇称:
「_「__,「.o
因为•「和屮「门都是能量E的解,二者应表示同样的状态。
因此应只差一常数。
U■'
,贝0--"
一"
「
所以,「‘,「二二】
二•一维无限深势阱
0叫竹=£
GO
■-
2mdx2
+ZW]^(x)=^(x)
方程的解为•.呼_二:
■-+1*-:
「
利用边界条件:
M门一得,
即:
口匕=:
,二:
=<
~(>
='
.时,討-.,无物理意义)
利用归一化条件:
『|妬⑴,得:
A=
rCx)-1ua^x2
一维线性谐振子的势能为二,
h2d2好輕c
#+(£
-—X沖=0体系的薛定谔方程为-
薛定谔方程变为:
"
r,变系数二级常微分方程。
J'
时,,有限,将-写成如下形式:
----
^-2^—+(^-1)^=0
带入原方程1J-'
将H按.展成幕级数,.亠八:
时,有限,要求幕级数只有有限项。
级数只有有限项的条件是:
一一.一,心.■I-■
=克①(丹+b
线性谐振子的能级为:
^'
!
线性谐振子的能量为分离值,相邻能级的间距为皿
Ea=—XiU
零点能:
;
=.,
厄密多项式:
也©
二皿刍”
(2)F妊0)二占[J旳価一+(2旳+1)%+Jb+2)仗+1)%科]
孑£
抚』ff
(4)J:
_
一对应的波函数为:
匕:
|-:
丨•二I,
归一化常数:
4.势垒贯穿
%)二认;
%)=0.
薛定谔方程为
I-'
…,:
⑻一■'
-时
d2门门
方程变为:
丁「i-,•、「—
莎宀0,W)
在亠」1区域,波函数:
「一亠八"
J:
T,
在..1—区域,波函数:
J'
-
在:
..■-区域,波函数:
■:
对投射波,不应有向左传播的波,即:
。
利用波函数及微商在人I」和.:
=_;
•的连续条件,我们有
\■■■.一:
一七一二=三-S
一-_:
;
、;
二2
艸、_严、
匸zr'
z■匸zr'
z,心严-収E'
严j航曲恥
解方程组:
一佔如西卫
(耗+為)%一吩-(耐一扁)怙空
(b)
反射系数:
-■I时
方程的解形式为:
A「土沁\二八
利用边界条件得:
(鬧-居)甜&
力+2捻c方甩a
投射系数:
‘I;
隧道效应:
粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学:
.,如心,则动能为负。
是无意义的。
但在微观世界,由于粒子
的波粒二象性,动能和势能是无法同时确定的,上述等式是不成立的。
因此可以可岀,隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。
小结
第二章
波函数的统计解释.(量子力学一基本假设)
附)满足连续性,有限性,单值性。
2.态叠加原理:
态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。
经典粒子的态是具有正交性。
3.薛定谔方程(量子力学一一基本假设)
(1).薛定谔方程是基本假定,是建立的不是推导的
(2).薛定谔方程是线性方程
4.定态薛定谔方程
能量有确定的值
定态波函数…二;
定态薛定谔方程一H
定态波函数实际是能量本征函数
定态薛定谔方程存在定态解
5.一维定态问题
(1).一维无限深势井
本征值
本征函数
6.
迴二空迎
dt
连续性方程
几率密度
几率流密度
例题
.求解一位定态薛定谔方程
1•试求在不对称势井中的粒子能级和波函数3®
[解]薛定谔方程
-^T=O...x
<
d呵
荷杠叽。
…0<心
d汽a
—厂-T>
a
df2
当二二:
,〕一〔
故有
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- 周世勋 量子力学 教案