刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案Word格式文档下载.docx
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5.设
是赋范空间,
中的稠密子集,证明:
对于每一
存在
,使得
,并且
.
取
,则
,
可取
同理可取
继续此法,可得
,由此知
.
6.设
,证明:
是Banach空间,当且仅当,
中的单位球面
是完备的.
必要性是显然的(
为
中闭集),下证充分性.
是完备的,设
中的Cauchy列,由于
,从而
存在,不妨设
.若
,则显然
.若
,不妨设
,因为
也即
中的Cauchy列,由
的完备性,
,从而有
,故
,即
收敛,从而证得
是Banach空间.
7.证明
是可分的Banach空间.
分以下三步来证明:
1).证明
的线性子空间.事实上收敛列必有界,从而显然
,且设
,由于
,从而我们有
的线性子空间.
2).证明
的闭子空间.事实上,设
,使得当
.由于
,又因
,故存在
时恒有
的闭子空间.
3).由于
为Banach空间,而
的闭子空间,从而
是Banach空间,下证
是可分的.设
为一切有限有理数列全体,即
全为有理数,且存在
.显然
,可知
可数.
对
,存在
,从而存在
在
中稠密.
综上可知
8.设
是一列赋范空间,
且满足条件
,用
表示所有
的全体,按坐标定义线性运算构成的线性空间,在
中定义
只需证明
是一个范数即可.事实上,显然
,又
是赋范空间,故
,从而可得
,即证明了范数公理的条件1)成立,而条件2)显然成立,下证条件3)成立.设
,由离散情形的Minkowski不等式,我们有
从而证得
是一个范数,从而
9.证明:
1)离散情形的Hö
lder不等式与Minkowski不等式;
2)
1).首先证明离散情形的Hö
lder不等式,即证明下列不等式成立:
,其中
,由不等式
可得
从而有
,所以
由离散情形的Hö
lder不等式,我们可以推导相应的Minkowski不等式:
事实上,由Hö
lder不等式,我们得到
由此即可得到
2).首先,由于
中全体有理点集,它是
中稠密的可数集,因此
是可分空间.
,易知
的可数子集,下证
.事实上,设
存在
因此
10.证明任意线性空间中存在Hamel基.
设
是线性空间
中的线性无关集,令集合
为包含
的所有线性无关集全体,在
上定义偏序关系为
显然
的全序子集都有上界(所有集合的并集),由Zorn引理,
有极大元,不妨设为
下证
即为
的Hamel基,如若不然,则存在
与
中任何元素都线性无关,从而
,这与
的极大性矛盾.
11.设
中的子集.证明:
若令
表示上式右端,则
而且
是凸集,从而
.反之,设
是包含
的任一凸集,那么
,即得
12.设
是直线上的Lebesgue可测集,且
表示
的范数,
的范数.证明:
,若
或
,显然成立,下设
:
i).根据本性上确界的可达性,即存在
.因为当
ii).对任意的
,令
,由上确界定义易知
,由
的任意性,知
.从而
13.设
是赋范空间,在乘积线性空间
.证明
上的等价范数.
,从而它们是等价范数.
14.设
是区间
上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间,对于
.证明:
和
上两个不等价的范数.
上的两个范数,且
,要证两个范数不等价,则只需证明不存在
,即证明存在
.令
则
15.设Banach空间
具有Schauder基
表示所有使得
中收敛的数列
的全体,按通常方式定义线性运算构成的线性空间,对于每一
,定义
首先易知
是范数.设
是Cauchy列,
16.设
的子空间,对于
.如果存在
,称
的最佳逼近.
1)证明:
如果
的有穷维子空间,则对每一
,存在最佳逼近.
2)试举例说明,当
不是有穷维空间时,1)的结论不成立.
3)试举例说明,一般地,最佳逼近不惟一.
4)证明对于每一点
关于子空间
的最佳逼近点集是凸集.
1).有下确界定义,
.因为
是有穷维子空间,从而存在子列
,将上面不等式中的
改为
,并令
,便有
的任意性即可得到
就是
的最佳逼近元.
2).例:
空间中,令
,则易证
的闭子空间.设
,下面说明对此
中不存在最佳逼近元.事实上,
.下证
.用反证法.假设存在
又由
.这与
矛盾.所以
.两边取下确界,得到
,从而我们可以得到
,即在
上找不到一点,使得该点是
3).例:
中,对
,定义范数
,并设
,但最佳逼近元
不惟一.
4).设
的最佳逼近点集,则对
又显然
是凸集.
17.设
是赋范空间,如果对任意
且
必有
是严格凸赋范空间.
1)证明赋范空间
是严格凸的,当且仅当,对任意
2)证明在严格凸赋范空间中,对于每一个
关于任意子空间
的最佳逼近是惟一的.
1).必要性.设
,由严格凸性,
,即可得到
充分性.用反证法,如果存在
,由假设,必存在
,又因为
,矛盾.
2).用反证法.事实上,若
并有
,则对
,由严格凸性有
即
,这显然与
的定义矛盾.但若
是相应的最佳逼近元,则必有
,从而最佳逼近元必是惟一的.
18.设
,当
时必有
是一致凸的.证明:
1)一致凸赋范空间必是严格凸的.
不是一致凸的.
3)
是一致凸的赋范空间,
,则必存在
(若不然,对
,都有
,矛盾).由一致凸性,对此
,必存在
是严格凸的.
2).由1),只需证明
不是严格凸的即可.以
为例.取
都满足
.从而不是严格凸的.
3).同理.取
,都满足
习题三
1.设
,在
上定义算子
.证明
上的有界线性算子并且
.另一方面,由上确界定义,对任意的
.取
则显然
.令
,则有
.所以
3.证明Banach空间
是自反的,当且仅当
是自反的.
必要性.设
是自反的,
为典型映射,现证
也自反.任取
,显然
.因为
,及
的自反性得
,因此对任意的
为典型映射,且
充分性.设
自反,假设
不是自反的,即
的真闭子空间(因为
到
上的等距同构映射,且
完备),由Hann—Banach定理,存在
,满足
,因而对任意的
矛盾,从而设
20.设
是一致凸赋范空间,
.证明如果
不妨设
,用反证法.为简单起见,设
不按范数收敛于0,那么可设
,由空间的一致凸性,
有
及
知
矛盾,从而必有
22.证明空间
上的有界线性泛函的一般形式为
并且
,有
.设
,则由Hö
lder不等式,我们可以得到
,从而可知
反之,对任一
,下证
.事实上,令
得
.又显然
是线性算子,且为满射,故为
上的等距同构映射,从而
习题四
是一列内积空间,令
对于
证明
是内积空间,并且当每一个
都是Hilbert空间时,
是Hilbert空间.
先证
是内积空间.因为
故定义
是有意义的.又由
,而且
,由内积定义可知
是内积空间.
再证
是完备的.设
中的Cauchy列,其中
.由定义
时,有
,于是
中的Cauchy列(
固定),设
,由前证
,故对固定的
使得
,再令
,就有
是线性空间,于是有
,故点列
按
中范数收敛于
是完备的,即是Hilbert空间.
2.设
是Hilbert空间,
的闭子空间.证明
上某个非零连续线性泛函的零空间,当且仅当
是一维子空间.
必要性.若
上某个非零连续线
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