高中数学必修4三角恒等变换复习专题汇编文档格式.docx
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郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【训练3】已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为_____.
方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算
【典例】设a,b是两个非零向量.( ).
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
【自主体验】在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则实数λ=( ).A.B.C.D.
基础巩固题组
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ).
A.=+B.=-C.=-+D.=--
3.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.下列命题中,正确的是( ).A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.若a·
b=0,则a=0或b=0C.若ka=0,则k=0或a=0D.若a,b都是非零向量,则|a+b|>|a-b|
5.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为( ).
A.B.C.D.
.6.)给出下列命题:
①向量的长度与向量的长度相等;
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;
⑤向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.其中不正确命题的序号是
7.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).
8.设a,b是两个不共线向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为________.
9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.
10.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上?
能力提升题组
1.知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的( ).
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点
2.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若=x+(1-x),则实数x的取值范围是( ).A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)
3.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理的应用
【例1】如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示,.
【训练1】在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若A=λ+μ,则λ+μ=( ). A.B.C.D.
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
【训练2】
(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=( ).A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)
(2)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d的坐标.
【训练3】已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( ).
A.B.C.1D.2
(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为
思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用
1.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.
2.已知向量a=,b=(x,1),其中x>
0,若(a-2b)∥(2a+b),则x=________.
1如图,设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,下列向量组:
①与;
②与;
③与;
④与,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ).
A.①②B.③④C.①③D.①④
2.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为( ).
A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)
3.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则( ).
A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=
4.已知向量a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则m=( ).A.2B.-2C.-3D.3
5.在△ABC中,点P在BC上,且=2P,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( ).A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值为________.
7.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________.
8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
9.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
10.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:
当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.
1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为( ).A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
2.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D,若=m+,则m+n的取值范围是( ).A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,0)
3.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>
0,b>
0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值为________.
4.如图,已知点A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐
第3讲 平面向量的数量积
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】
(1)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·
b=( ).
A.2B.3C.4D.5
(2)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.
.【训练1】
(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·
c=30,则x=( ).
A.6B.5C.4D.3
(2)已知向量与的夹角为120°
,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为
考点二 向量的夹角与向量的模
【例2】
(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.
(2)已知向量a,b满足a·
b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________.
【训练2】
(1)已知向量a,b夹角为45°
,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
(2)若平面向量a,b满足|a|=1,|b|≤1,且以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为,则a和b的夹角θ的取值范围是________.考点三 平面向量的垂直问题
【例3】已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<
α<
β<
π).
(1)求证:
a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).
,【训练3】已知平面向量a=(,-1),b=.
(1)证明:
a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,试求函数关系式k=f(t).
教你审题5——数量积的计算问题
【典例】在矩形ABCD中,设AB,AD的长分别为2,1.若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=,则·
的取值范围是________.
【自主体验】在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·
=,则·
的值是________.
1.向量a=(1,2),b=(0,2),则a·
A.2B.(0,4)C.4D.(1,4)
2.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=120°
,则在方向上的投影为( ).
A.B.C.1D.2
.3已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,).若a+2b与c垂直,则k=( ).
A.-3B.-2C.-1D.1
4.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)·
b=0,则向量a,b的夹角为( ).
5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( ).
A.B.2C.5D.10
6已知两个单位向量a,b的夹角为60°
,c=ta+(1-t)b.若b·
c=0,则t=________.
7在平面直角坐标系xOy中,已知=(3,-1),=(0,2).若·
=0,=λ,则实数λ的值为________.
8.,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<
,>
=60°
,则||=________.
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,
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