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在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.
3.已知,在△ABC中,∠A=∠C,点F和E分别为射线CA和射线BC上一点,连接BF和FE,且∠BFE=∠FEB.
(1)如图1,当点F在线段AC上时,若∠FBE=2∠ABF,则∠EFC与∠FBE的数量关系为 .
(2)如图2,当点F在CA延长线上时,探究∠EFC与∠FBA的数量关系,并说明理由.
(3)如图3在
(2)的条件下,过C作CH⊥AB于点H,CN平分∠BCH,CN交AB于N,由N作NM⊥NC交CF于M,若∠BFE=5∠FBA,MN∥FB时,求∠ABC的度数.
4.(Ⅰ)
(1)问题引入
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC= (用α表示);
(2)拓展研究
如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数 (用α表示)
(3)归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC= (用α表示).
(Ⅱ)类比探索
(1)特例思考
如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数(用α表示).
(2)一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC= (用α表示).
5.
(1)如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED内部点A′的位置.试写出∠A与∠1+∠2之间的关系,并说明理由;
(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED外部点A′的位置,如图②所示.此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系?
直接写出 .
(3)如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置,如图③所示.直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系 .
6.已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线,BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线,如图①;
BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线(即∠A3BC=∠A1BC,∠A3CB=∠A1CB),如图②;
依此画图,BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线(即∠AnBC=∠A1BC,∠AnCB=∠A1CB),n≥2,且n为整数.
(1)若∠A1=70°
,求∠A2的度数;
(2)设∠A1=α,请用α和n的代数式表示∠An的大小,并写出表示的过程;
(3)当n≥3时,请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC,且∠ABC>∠C.
求证:
∠DAE=(∠ABC﹣∠C).
8.如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAB和∠CBA,相交于点D.
(1)如图1,过点D作DE∥AC,DF∥BC分别交AB于点E、F.
①若∠EDF=80°
,则∠C= ;
②若∠EDF=x°
,证明:
∠ADB=(90+)°
.
(2)如图2,若DE,BE分别平分∠ADB和∠ABD,且EF,BF分别平分∠BED和∠EBD,若∠BFE的度数是整数,求∠BFE至少是多少度?
9.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°
时,∠BPC= °
,∠BQC= °
(2)当α= °
时,BM∥CN;
(3)如图②,当α=120°
时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
(4)在α>60°
的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:
.
10.Rt△ABC中,∠C=90°
,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图
(1)所示,且∠α=50°
,则∠1+∠2= °
(2)若点P在边AB上运动,如图
(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?
(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?
猜想并说明理由.
11.
(1)如图①,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=40°
,∠ABC=30°
,求∠AEC的大小;
(2)如图②,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=m°
,∠ABC=n°
(3)如图③,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系?
若存在,请写出你得结论,并给出证明;
若不存在,请说明理由.
12.
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点,点C为x轴上的一个动点(与点O,A不重合),分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E,直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置.
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上,射线FO平分∠GFH,过点H的直线MN交x轴于点M,满足∠MHF=∠GHN,过点H作HP⊥MN交x轴于点P,请探究∠MPH与∠G的数量关系,并写出简要证明思路.
13.在△ABC中,点D为△ABC的三条内角平分线的交点,BE⊥AD于点E,
(1)当∠BAC=80°
,∠ACB=60°
时,∠BDC= .∠DBE= .
(2)当∠BAC=α,∠ACB=β时,用含有α的代数式表示∠BDC的度数,用含有β的代数式表示∠DBE的度数.
(3)如图2,若AD平分∠BAC,CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BE⊥AD于点E,
(2)中的两个结论是否发生变化?
14.如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°
,∠C=60°
(1)求∠DAE的度数;
(2)如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,求∠DFE的度数;
(3)如图③,若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由.
15.如图,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,求证:
∠AFD=(∠H+∠BGC).
16.如图,已知CD是△ABC的角平分线,E是BC上的点,∠B=60°
,∠ACE=∠CAE=20°
.求∠CDE的度数.
17.如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,CE与BD交于F,连接AF并延长交BC于H,过F作FG⊥BC于G.
(1)若∠ABC=45°
,∠ACB=65°
,求∠HFG的度数;
(2)根据
(1)中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系;
(3)试探究∠BFH与∠CFG的大小关系,并说明理由.
18.如图1,在△ABC中,∠A=60°
,∠CBM,∠BCN是△ABC的外角,∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D.
(1)求∠BDC的度数;
(2)在图1中,过点D作DE⊥BD,垂足为点D,过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2),求证:
BF是∠ABC的平分线.
19.老师给了小胖同学这样一个问题:
如图1,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,点D是BC延长线上一点,2∠D=∠ACB,若∠BAC=60°
,求∠BED
小胖通过探究发现,过点C作CM∥AD(如图2),交BE于点M,将∠BED转移至∠BMC处,结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线,在△ABC中求出∠BMC,从而得出∠BED.
(1)请按照小胖的分析,完成此题的解答:
(2)参考小胖同学思考问题的方法,解决下面问题:
如图3,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,若∠A=m°
,求∠G的度数(用含m的式子表示)
20.△ABC的三条角平分线相交于点I,过点I作DI⊥IC,交AC于点D.
(1)如图1,求证:
∠AIB=∠ADI;
(2)如图2,延长BI,交外角∠ACE的平分线于点F.
①判断DI与CF的位置关系,并说明理由;
②若∠BAC=70°
,求∠F的度数.
21.如图1,已知△ABC,射线CM∥AB,点D是射线CM上的动点,连接AD.
(1)如图2,若∠ACB=∠ABC,∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E.
①若∠BAC=40°
,AD∥BC,则∠AEC的度数为 ;
②在点D运动的过程中,探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系;
(2)若∠ACB=n∠ABC,∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E,∠CAE=n∠EAD,那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为 .
22.如图,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=130°
,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).
23.如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动.
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出其值;
(2)若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数;
若发生变化,请说明理由.
24.如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D.我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°
+∠A.请应用这一结论,解决下面的问题.
(1)如图2,过点D任意作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,求∠MDB+∠NDC的度数(用含∠A的代数式表示).
(2)如图3,当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系?
说明你的理由.
(3)如图4,当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上,而与AC的交点在线段AC上时,
(2)问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?
若成立,请说明你的理
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