数学分析答案Word文档格式.docx
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;
(2)
(1)
(2)因为
,
所以
6.设
证明
建立坐标系如图,在三角形OAC中,OA
的长度是
,OC的长度是
AC的长度为
.因为三角形两边的差
小于第三边,所以有
7.设
,证明
介于1与
之间.
因为
8.设p为正整数,证明:
若p不是完全平方数,则
是无理数.
为有理数,则存在正整数m、n使得
,其中m、n互素.于是
,因为p不是完全平方数,所以p能整除n,即存在整数k,使得
.于是
,从而p是m的约数,故m、n有公约数p.这与“m、n互素”矛盾.所以
是无理数.
P.9
2.设S为非空数集,试对下列概念给出定义:
(1)S无上界;
若
,使得
,则称S无上界.
(请与S有上界的定义相比较:
,有
,则称S有上界)
(2)S无界.
,则称S无界.
(请与S有界的定义相比较:
,则称S有界)
3.试证明数集
有上界而无下界.
,故2是S的一个上界.
而对
,取
,但
.故数集S无下界.
4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:
解
.下面依定义加以验证
(
可类似进行).
,即
是S的一个上界,
是S的一个下界.
,若
,则
,都有
,则由实数的稠密性,必有实数r,使得
不是上界,所以
.
(2)
S无上界,故无上确界,非正常上确界为
下面证明:
①
,即1是S的一个下界;
②
,因为
不是S的下界.所以
(3)
仿照教材P.6例2的方法,可以验证:
.
⑷
首先验证
,即1是S的一个上界;
,取正整数
,于是取
.从而
,且
5.设S为非空有下界数集,证明:
证明:
)设
,则对一切
,而
,故
是数集S中的最小的数,即
下面验证
⑴对一切
是数集S的下界;
⑵对任何
,只须取
.所以
6.设S为非空数集,定义
.证明:
⑴
⑵
证
⑴设
,下面证明:
①对一切
.因为
,所以有
是数集S的上界;
②对任何
,所以存在
.于是有
由①,②可知
7.设A、B皆为非空有界数集,定义数集
(1)因为A、B皆为非空有界数集,所以
和
都存在.
,由定义分别存在
.由于
是数集
的一个上界.
,(要证
不是数集
的上界),
,由上确界
的定义,知存在
,再由上确界
.因此
的上确界,即
.
①
由上确界的定义,
,从而
,由教材P.3例2,可得
由①、②,可得
类似地可证明:
P.15
9.试作函数
的图象
是以2π为周期,
定义域为
,值域为
的分段线性函数,其图象如图.
11.试问
是初等函数吗?
,可看成是两个初等函数
与
的复合,所以
是初等函数.
12.证明关于函数
的如下不等式:
(1)当
时,
(1)因为
,所以当
时,有
,从而有
(2)当
时,在不等式
中同时乘以x,可得
,从而得到所需要的不等式
P.20
1.证明
是R上的有界函数.
因为对R中的任何实数x有
所以f在R上有界.
2.
(1)叙述无界函数的定义;
(2)证明
为(0,1)上的无界函数;
(3)举出函数f的例子,使f为闭区间[0,1]上的无界函数.
(1)设函数
,若对任何
,都存在
,则称f是D上的无界函数.
(2)分析:
,要找
.为此只需
,所以f为区间(0,1)上的无界函数.
(3)函数
是闭区间[0,1]上的无界函数.
、
为定义在
上的有界函数,满足
⑴
⑵
⑴
是
在
上的一个上界,所以
⑵
上的一个下界,所以
8.设
上的有界函数,证明:
证⑴
上的一个下界,从而
,所以
反之,
上的一个上界,从而
由①,②得,
9.证明:
上无界,而在
内任一闭区间
上有界.
.则有
上无界.
上,取
,必有
10.讨论狄利克雷函数
,的有界性,单调性与周期性.
函数
是有界函数:
.不是单调函数.
是周期函数,任何一个正有理数都是它的周期,故它没有最小周期.证明如下:
设r是任一正有理数.若x是有理数,则
是有理数,于是
若x是无理数,则
是无理数,于是
任何无理数都不是
的周期.
11.证明:
在R上严格增.
设
因为
.所以有
即
P.21总练习题
1.设
若
,这时有
,也有
2.设
都是初等函数,定义
试问
是否为初等函数?
由第1题有
都是初等函数,于是
是初等函数,再由
,知
是初等函数,所以
是初等函数.
为增函数,满足
为增函数,再由
,得
.同理可得
9.设
为区间
上的增函数,证明
也都是区间
上的增函数.
⑴先证
是区间
设
,于是有
从而
是增函数.
⑵其次证明
上的增函数
从而
12.设
为
⑴由p.17例2(i),有
再由p.20习题8,有
结合①、②可得
13.设
上的非负有界函数,证明:
.即
上的一个下界,所以有
15.设
为定义在R上以h为周期的函数,a为实数.证明:
若f在[a,a+h]上有界,则f在R上有界.
设f在[a,a+h]上有界,即存在
,必存在整数
和实数
,所以f在R上有界.
16.设
在区间
上有界.记
的一个上界.下面证明:
的最小上界.
由上确界,下确界的定义知,
部分重点高校历年研究生入学考试试题选(供参考)
1.(北京科技大学,1999年)叙述数集A的上确界的定义,并证明:
对任意有界数列
,总有
定义参考教材.
由上确界的定义,有
,(
).于是
,即实数
是数列
的一个上界,所以有
2.(中国人民大学)设
,求
的定义域和
由
解得
的定义域为
3.(华中理工大学)设
,试验证
,并求
).
4.(同济大学)设
当
当
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