中考数学压轴题解析.docx
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中考数学压轴题解析
2019中考数学压轴题解析43
102.(2016浙江省绍兴市)对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0).
(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图,点M是直线l上的一点,点A惯有点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C.
①若A、B、C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?
请说明理由.
②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.
【答案】
(1)(2,2),(3,4);
(2)①△ABC是直角三角形;②n=4,B(5,8).
【分析】
(1)根据平移的性质得出点A平移的坐标即可;
(2)①连接CM,根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可;
②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可.
【解析】
(1)∵点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),点A的坐标为(1,0),∴点A经1次平移后得到的点的坐标为(2,2),点A经2次平移后得到的点的坐标(3,4);
(2)①连接CM,如图1:
由中心对称可知,AM=BM,由轴对称可知:
BM=CM,∴AM=CM=BM,∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB,∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,∴∠ACM+∠MCB=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形;
②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,如图2:
∵A(1,0),C(7,6),∴AF=CF=6,∴△ACF是等腰直角三角形,由①得∠ACE=90°,∴∠AEC=45°,∴E点坐标为(13,0),设直线BE的解析式为y=kx+b,∵C,E点在直线上,可得:
,解得:
,∴y=﹣x+13,∵点B由点A经n次斜平移得到,∴点B(n+1,2n),由2n=﹣n﹣1+13,解得:
n=4,∴B(5,8).
点睛:
此题考查几何变换问题,关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析,同时根据待定系数法得出直线的解析式解答.
考点:
几何变换综合题.
103.(2016浙江省湖州市)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:
将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若AD=AB,求证:
①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)类比发现
如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:
AE=2FH;
(3)深入探究
如图3,若AD=3AB,探究得:
的值为常数t,则t=.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3).
【分析】
(1)①先证明△ABC,△ACD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题.②根据①的结论得到BE=AF,由此即可证明.
(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得由此即可证明.
(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM,得,由AB•CM=AD•CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以=,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,想办法求出AC,AE+3AF即可解决问题.
(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,∴AD=2AB=4x,∴AH=AD﹣DH=3x,∵CH⊥AD,
∴AC==x,∴,∴∠ACD=90°,∴∠BAC=∠ACD=90°,
∴∠CAD=30°,∴∠ACH=60°,∵∠ECF=60°,∴∠HCF=∠ACE,∴△ACE∽△HCF,∴=2,∴AE=2FH.
(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.
∵∠ECF+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵∠AFC+∠CFN=180°,∴∠CFN=∠AEC,
∵∠M=∠CNF=90°,∴△CFN∽△CEM,∴,∵AB•CM=AD•CN,AD=3AB,∴CM=3CN,
∴=,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,∵∠MAH=60°,∠M=90°,∴∠AHM=∠CHN=30°,
∴HC=2a,HM=a,HN=a,∴AM=a,AH=a,∴AC==a,AE+3AF=(EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN)=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a,∴
==.故答案为:
.
点睛:
本题考查几何变换综合题.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
考点:
几何变换综合题;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;压轴题.
104.(2016浙江省舟山市)我们定义:
有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究;
如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展;
如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.
【答案】
(1)矩形或正方形;
(2)AC=BD;(3)或.
【分析】
(1)矩形或正方形邻角相等,满足“等邻角四边形”条件;
(2)AC=BD,理由为:
连接PD,PC,如图1所示,根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线,得到两对角相等,利用等角对等角得到两对角相等,进而确定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(3)分两种情况考虑:
(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′,求出四边形ACBD′面积;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四边形ACBD′面积即可.
【解析】
(1)矩形或正方形;
(2)AC=BD,理由为:
连接PD,PC,如图1所示:
∵PE是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,∴PA=PD,PC=PB,∴∠PAD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,∴∠DPB=2∠PAD,∠APC=2∠PBC,即∠PAD=∠PBC,∴∠APC=∠DPB,∴△APC≌△DPB(SAS),∴AC=BD;
(3)分两种情况考虑:
(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,
∴∠ED′B=∠EBD′,∴EB=ED′,设EB=ED′=x,由勾股定理得:
,解得:
x=4.5,过点D′作D′F⊥CE于F,∴D′F∥AC,∴△ED′F∽△EAC,∴,即,
解得:
D′F=,∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=;
(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,∴四边形ECBD′是矩形,∴ED′=BC=3,在Rt△AED′中,根据勾股定理得:
AE==,
∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=,则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′==.
点睛:
此题属于几何变换综合题,涉及的知识有:
全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,垂直平分线定理,等腰三角形性质,以及矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
考点:
几何变换综合题;几何综合题;新定义;分类讨论.
105.(2016湖南省岳阳市)数学活动﹣旋转变换
(1)如图①,在△ABC中,∠ABC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C,连接BB′,求∠A′B′B的大小;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,连接BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆.
(Ⅰ)猜想:
直线BB′与⊙A′的位置关系,并证明你的结论;
(Ⅱ)连接A′B,求线段A′B的长度;
(3)如图③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,连接A′B和BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆,问:
角α与角β满足什么条件时,直线BB′与⊙A′相切,请说明理由,并求此条件下线段A′B的长度(结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)
【答案】
(1)65°;
(2)(Ⅰ)直线BB′是⊙A′的切线;(Ⅱ);(3)当α+β=180°时,直线BB′是⊙A′的切线,A′B=.
【分析】
(1)根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可.
(2)(Ⅰ)结论:
直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可.(Ⅱ)在RT△ABB′中,利用勾股定理计算即可.
(3)如图③中,当α+β=180°时,直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题.在△CBB′中求出BB′,再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可.
【解析】解;
(1)如图①中,∵△A′B′C是由△ABC旋转得到,∴∠A′B′C=∠ABC=130°,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=50°,∴∠CBB′=∠CB′B=65°,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣
∠BB′C=65°.
(2)(Ⅰ)结论:
直线BB′是⊙A′的切线.
理由:
如图②中,∵∠A′B′C=∠ABC=150°,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=60°,∴∠CBB′=∠CB′B=60°,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°,∴AB′⊥BB′,∴直线BB′、
是⊙A′的切线.
(Ⅱ)∵在RT△ABB′中,∵∠AB′B=90°,BB′=BC=5,AB′=AB=3,∴A′B==.
(3)如图③中,当α+β=180°时,直线BB′是⊙A′的切线.
理由:
∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=2β,
∴∠CBB′=∠CB′B=,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°,
∴AB′⊥BB′,∴直线BB′是⊙A′的切线.
在△CBB′中∵CB=CB′=n,∠BCB′=2β,∴BB′=2nsinβ,在RT△A′BB′中,
A′B==.
点睛:
本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练运用这些知识解决问题,充分利用旋转不变性,属于中考压轴题.
考点:
圆的综合题;切线的判定;探究型;旋转的性质;压轴题.
106.(2016贵州省遵义市)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣8,3),B(﹣4,0),C(﹣4,3),∠ABC=α°.抛物线经过点C,且对称轴为x=,并与y轴交于点G.
(1)求抛
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