线性代数在实际生活中的应用Word文件下载.docx
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塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系,并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。
它也是我们求解数学问题时候
“数形结合”的途径。
矩阵的运算是非常重要的内容。
例:
计算
矩阵的初等变化,矩阵的秩,初等矩阵,线性方程组的解。
向量组的线性相关,向量空间,向量组的秩,n维向量。
这些都是线性代数的核心概念。
线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。
而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升,最终,计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造,桥梁设计,交通规划,石油勘探,经济管理等科学领域。
线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。
线性方程组应用广泛。
主要有网络流模型,人口迁移模型,基因问题,求血液的流率和血管分支点出的压强等等。
线性方程组的解法其中至关重要的
例如求解齐次线性方程组
即得与原方程组同解的方程组
由此即得
方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题,这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用,在其他的许多科学领域中也有重要的应用。
例如,在生物信息学中,人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似,这个概念。
线性代数学习对数学建模十分必要。
那么,为什么线性代数得到广泛运用,也就是说,为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事,而并非解非线性方程组是经常的事呢?
这是因为,大自然的许多现象恰好是线性变化的。
按照辩证唯物主义的观点,世间的一切事物都是在不断地运动着的.所谓运动,从数学上描述,就是随时间而变化,因此,研究各个量随时间的变化率,即导数,与各个量的大小之间的关系,就是非常重要的.以下为线性代数实际解决的应用问题:
例1:
基因间“距离”的表示
在ABO血型的人们中,对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A1,A2,B,O区别开,有人报道了如下的相对频率,见表1.1。
表1.1基因的相对频率
爱斯基摩人f1i
班图人f2i
英国人f3i
朝鲜人f4i
A1
0.2914
0.1034
0.2090
0.2208
A2
0.0000
0.0866
0.0696
B
0.0316
0.1200
0.0612
0.2069
O
0.6770
0.6900
0.6602
0.5723
合计
1.000
问题一个群体与另一群体的接近程度如何?
换句话说,就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解有人提出一种利用向量代数的方法。
首先,我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的,我们取每一种频率的平方根,记.由于对这四种群体的每一种有,所以我们得到.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记
在四维空间中,这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.
现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们
a1和a2之间的夹角记为θ,那么由于|a1|=|a2|=1,再由内只公式,得
故
得°
.
按同样的方式,我们可以得到表1.2.
表1.2基因间的“距离”
爱斯基摩人
班图人
英国人
朝鲜人
0°
23.2°
16.4°
16.8°
9.8°
20.4°
19.6°
由表1.2可见,最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”,而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.
例2:
在医药领域也有着很重要的作用。
通过中成药药方配制问题,达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识
问题:
某中药厂用9种中草药(A-I),根据不同的比例配制成了7种特效药,各用量成分见表1(单位:
克)
1号成药
2号成药
3号成药
4号成药
5号成药
6号成药
7号成药
A
10
2
14
12
20
38
100
25
35
60
55
C
5
3
11
D
7
9
15
47
E
1
33
6
F
50
G
4
17
39
H
16
I
8
(1)把每一种特效药看成一个九维列向量,分析7个列向量构成向量组的线性相关性。
若向量组线性无关,则无法配制脱销的特效药;
若向量组线性相关,并且能找到不含u3,u6的一个最大线性无关组,则可以配制3号和6号药品。
在Matlab窗口输入
u1=[10;
12;
5;
7;
0;
25;
9;
6;
8];
u2=[2;
3;
1;
4;
2];
u3=[14;
11;
2;
35;
17;
16;
12];
u4=[12;
10;
0];
u5=[20;
15;
u6=[38;
60;
14;
47;
33;
55;
39;
6];
u7=[100;
50;
20];
U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7]
[U0,r]=rref(U)
计算结果为
U0=r=12457
1010000从最简行阶梯型U0中可以看
0120030出,R(U)=5,向量组线性
0001010相关,一个最大无关组为
0000110u1,u2,u4,u5,u7,
0000001u3=u1+2u2
四个零行u6=3u2+u4+u5故可以配制新药
2)三种新药用v1,v2,v3表示,问题化为v1,v2,v3能否由u1-u7线性表示,若能表示,则可配制;
否则,不能配制。
令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3]
由U0的最后三列可以看出结果
计算结果r=1,2,4,5,7,10则可以看出v1=u1+3u2+2u4v2=3u1+4u2+2u4+u7
v3不能被线性表示,所以无法配制
例3:
化学方程的配平
:
确定x1,x2,x3,x4,使两边原子数相等称为配平,方程为
写成矩阵方程
例4:
卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像,对每一个区域,可以获得七张遥感图象。
利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息,因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。
而在实用上应该寻找每一个地方的主因素,成为一张实用的图象。
每一个象素上有七个数据,形成一个多元的变量数组,在其中合成并求取主因素的问题,就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。
例5:
用逆阵进行保密编译码
在英文中有一种对消息进行保密的措施,就是把英文字母用一个整数来表示。
然后传送这组整数。
这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译,例如出现频率特别高的数字,很可能对应于字母E。
可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。
假如A是一个行列式等于±
1的整数矩阵,则A-1的元素也必定是整数。
而经过这样变换过的消息,同样两个字母对应的数字不同,所以就较难破译。
接收方只要将这个消息乘以A-1就可以复原。
例6:
Euler的四面体问题
问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积?
这个问题是由Euler(欧拉)提出的.
解建立如图2.1所示坐标系,设A,B,C三点的坐标分别为(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3),并设四面体O-ABC的六条棱长分别为由立体几何知道,该四面体的体积V等于以向量组成右手系时,以它们为棱的平行六面体的体积V6的.而
于是得将上式平方,得
根据向量的数量积的坐标表示,有
于是
(2.1)由余弦定理,可行
同理
将以上各式代入(2.1)式,得
(2.2)
这就是Euler的四面体体积公式.
例7:
一块形状为四面体的花岗岩巨石,量得六条棱长分别为
l=10m,m=15m,n=12m,
p=14m,q=13m,r=11m.
则
代入(2.1)式,得
于是
即花岗岩巨石的体积约为195m3。
古埃及的金字塔形状为四面体,因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积。
线性代数(LinearAlgebra)是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题;
因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;
通过解析几何,线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位;
在计算机广泛应用的今天,计算机图形
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