7A版1990考研数二真题及解析Word文档格式.docx
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(5)设
处可导,
是
的()
(A)连续点(B)第一类间断点
(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定
三、(每小题5分,满分25分.)
求常数
(2)求由方程
所确定的函数
的微分
(3)求曲线
的拐点.
(4)计算
(5)求微分方程
满足条件
的特解.
四、(本题满分9分)
在椭圆
的第一象限部分上求一点
使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中
).
五、(本题满分9分)
证明:
当
有不等式
六、(本题满分9分)
设
求
七、(本题满分9分)
过点
作抛物线
的切线,该切线与上述抛物线及
轴围成一平面图形,求此平面图形绕
轴旋转一周所围成旋转体的体积.
八、(本题满分9分)
求微分方程
之通解,其中
为实数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)
【答案】
【解析】将
代入参数方程得
处的函数值:
得切点为
过已知点
的法线方程为
当函数在点
处的导数
时,
.所以需求曲线在点
处的导数.
由复合函数求导法则,可得
;
法线斜率为
所以过已知点的法线方程为
【相关知识点】复合函数求导法则:
如果
在点
可导,而
可导,则复合函数
可导,且其导数为
或
(2)
【解析】原函数对
求导,有
【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式:
2.复合函数的求导法则:
【解析】对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去
掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.
方法1:
换元法,令
原积分区间为
进而
新积分区间为
当
故新积分上限为0,下限为1.
原式
方法2:
拆项法,
(4)
【解析】由于
连续且
根据比较定理得到
【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下:
若
与
在区间
(
为常数,
)上连续且可积,且
则有
(5)
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据
的定义知,当
时,有
代入
又
于是当
时,复合函数
即当
时,也有
因此,对任意的
有
二、选择题(每小题3分,满分15分.)
【答案】C
【解析】本题考查多项式之比当
时的极限.
由题设条件,有
分析应有
否则
所以解以上方程组,可得
所以此题应选C.
【答案】B
【解析】由函数的不定积分公式:
的一个原函数,
所以本题应该选(B).
【答案】A
【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记
.由
逐次求导得
由第一归纳法,可归纳证明
假设
成立,即
所以
亦成立,原假设成立.
【解析】对
两边求导数得
故本题选A.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式:
均一阶可导,则
2.复合函数求导法则:
由函数在一点处导数的定义,
得
所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选B.
【相关知识点】1.函数
连续:
设函数
的某一邻域内有定义,如果
则称函数
连续.
2.函数
的间断点或者不连续点的定义:
的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.
(1)在
没有定义;
(2)虽在
有定义,但
不存在;
(3)虽在
有定义,且
存在,但
通常把间断点分成两类:
是函数
的间断点,但左极限
及右极限
都存在,那么
称为函数
的第一类间断点;
不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
【解析】此题考查重要极限:
或由
同理可得
【解析】方程两边求微分,得
整理得
【解析】对分式求导数,有公式
所以
令
在此变号,即是
故拐点为
【相关知识点】1.拐点的定义:
的某一邻域连续,函数
的图形在点
处的左右侧凹凸性相反,则称
为曲线
2.拐点判别定理:
(1)设函数
连续,在去心邻域
就是区间
内不包括点
二阶可导,且
上不变号,则
为拐点.
二阶可导,
又
则
本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了.
【解析】由
有
为任意常数.
注:
分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式:
假定
均具有连续的导函数,则
或者
【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为
由于
两边乘以
积分得
通解为
代入初始条件
可得
所求特解为
【解析】对椭圆方程进行微分,有
过曲线上已知点
的切线方程为
存在时,
所以点
处的切线方程为
化简得到
分别令
得切线在
上的截距分别为
又由椭圆的面积计算公式
为半长轴和半短轴,故所求面积为
为常数,欲使得
的最小,则应使得
最大;
从而问题化为求
由椭圆方程所确定)当
时的最大值点.
得
再对
两边求导得
联合可得
(唯一驻点),即在此点
取得最大,
取得最小值.
上存在最小值,
必为最小点,所求
点为
【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为
另一边剩下0,再在给定区间内讨论
的单调性即可证明原不等式.
.因此,
上单调减;
又有
故
所以原不等式得证.
【解析】方法1:
由换元积分
由区间相同的积分式的可加性,有
=
由牛顿-莱布尼兹公式,有
而
故
【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式:
上连续,
为
上的任意一个原函数,则有
【解析】先求得切线方程:
对抛物线方程求导数,得
过曲线上已知点
的切线方程
此切线过点
所以把点
代入切线方程得
再
代入抛物线方程得
由此,与抛物线相切于
斜率为
旋转体是由曲线
直线
轴所围成的平面图形绕
轴旋转一周所形成的,求旋转体体积
:
曲线表成
的函数,
是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得
的函数,并作水平分割,相应于
小横条的体积微元,如上图所示,
于是,旋转体体积
【相关知识点】1.由连续曲线
、直线
及
轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转一周所得的旋转体体积为:
2.设
连续,非负,
则曲线
直线
轴围成的平面图形绕
轴旋转所得旋转体体积为:
(可用微元法导出).
【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程
的根为
原方程右端
中的
时,可设非齐次方程的特解
代入方程可得
所以通解为
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构:
是二阶线性非齐次方程
的一个特解.
是与之对应的齐次方程
的通解,则
是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
可用特征方程法求解:
即
、
均是常数,方程变为
.其特征方程写为
在复数域内解出两个特征根
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根
则通解为
(2)两个相等的实数根
(3)一对共轭复根
其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程
的一个特解
可用待定系数法,有结论如下:
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中
是与
相同次数的多项式,而
按
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
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