第6讲 平移与旋转尖子班.docx
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第6讲平移与旋转尖子班
第6讲平移与旋转
知识点1平移的性质
1.平移:
在平面内,将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置,图形的这种移动,叫做平移.
平移不改变图形的形状和大小,也不会改变图形的方向,但改变图形的位置;
2.图形平移的三要素:
原位置、平移方向、平移距离.
3.平移的性质:
(1)对应点的连线平行(或共线)且相等;
(2)对应线段平行(或共线)且相等;
(3)对应角相等,对应角两边分别平行,且方向一致.
【典例】
1.已知小正方形的边长为2厘米,大正方形的边长为4厘米,起始状态如图所示,大正方形固定不动,把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为t秒,两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米.完成下列问题:
(1)当t=1.5秒时,S=_______平方厘米;
(2)当S=2时,小正方形平移的时间为_______秒.
2.如图,已知△ABC的面积为16,BC的长为8,现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置.若四边形ABB′A′的面积为32,求m的值.
3.已知,如图,CB∥OA,∠C=∠OAB=120°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠FBO,OE平分∠COF,
(1)求∠EOB的度数;
(2)若向右平行移动AB,其他条件不变,那么∠OBC:
∠OFC的值是否发生变化?
若变化,找出其中的规律,若不变,求出这个比值;
(3)若向右平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?
若存在,请直接写出∠OBA的度数,若不存在,说明理由.
【方法总结】
典例1小正方形平移后与大正方形的重叠部分随着时间的变化而变化,其变化趋势是先变大后变小,最大的面积就是小正方形的面积;已知面积求运动时间就需要分类讨论.
典例2三角形沿着某一边移动,一组对应边和两条对应顶点的连线组成的四边形是平行四边形,该平行四边形与原三角形有相同的高;过三角形的一个顶点作对边的平行线,当对边不动,该顶点在做好的平行线上移动时,新三角形的面积不变(同底等高原理).
典例3考查平移与平行线综合,求不同角之间的关系,利用平行线的性质(内错角相等、同旁内角互补)将已知角转化成所求角(或所求角的部分),进而求二者之间的关系.
【随堂练习】
1.如图,直线CB∥OA,∠C=∠A=112°,E,F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,DE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度数;
(2)若平行移动AB,那么∠OBC:
∠OFC的值是否随之发生变化?
若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况使∠OEC=∠OBA?
若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
2.如图,已知直线l1∥l2,点A、B在直线l1上,点C、D在直线l2上,点C在点D的右侧,∠ADC=80°,∠ABC=n°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,直线BE、DE交于点E.
(1)写出∠EDC的度数_____;
(2)试求∠BED的度数(用含n的代数式表示);
(3)将线段BC向右平行移动,其他条件不变,请直接写出∠BED的度数(用含n的代数式表示)
3.如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°
(1)说明OB∥AC成立的理由.
(2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度数.
(3)在
(2)的条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA的度数.
知识点2平移作图
1.平移作图的方法:
平行线法、对应点连线法、全等图形法
2.平移作图的步骤:
(1)找关键点;
(2)过每个关键点作平移方向的平行线,截取与之相等的距离,标出对应点;
(3)连接对应点,将各个对应点按照原图的顺序相连,即得到平移后的图形.
【典例】
1.如图,平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,3),B(﹣5,1),C(﹣2,0),P(a,b)是△ABC的边AC上任意一点,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,点P的对应点为P1(a+6,b﹣2).
(1)直接写出点C1的坐标;
(2)在图中画出△A1B1C1;
(3)求△AOA1的面积.
【方法总结】
图形上的某一点移动的轨迹同整个图形的移动轨迹是一致的,可以通过已知点的运动轨迹求出图形上所有点的运动轨迹;
网格图上求一个图形的面积除了运用已知图形的面积公式以外,还可以用割补法,转化为大的长方形的面积减去其余部分的面积.
【随堂练习】
1.如图,网格中每个小正方形边长为1,△ABC的顶点都在格点上.将△ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′
(3)若连接BB′,CC′,则这两条线段的关系是_________________
(4)△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为____
(5)若△ABC与△ABE面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E共有____个
(注:
格点指网格线的交点)
2.如图,在方格纸中,已知格点△ABC及其外一点D,平移△ABC,使点A移动到点D.完成下列作图:
(1)画出平移后的三角形;
(2)画一条直线l,将△ABC分成面积相等的两部分.
知识点3图形的旋转
图形的旋转:
在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
旋转的三个要素:
旋转中心、旋转的角度和旋转方向.
图形旋转的性质:
1、经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,
2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。
3、一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等。
【典例】
1.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是
2.如图,△ABC为钝角三角形,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为
3.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为
4.如图,往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水,水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置,则AB中水柱的长度约为
【方法总结】
由于旋转前、后两个图形中,对应点与旋转中心的距离总相等,因此对应点必在以旋转中心为圆心,分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上,且对应点与旋转中心的连线所成角相等,都等于旋转角.
注意:
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心,保持不变的量是对应元素.
【随堂练习】
1.(2018•南充)如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C′上取点F,使B'F=AB.
(1)求证:
AE=C′E.
(2)求∠FBB'的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
2.(2018•焦作一模)如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点.
(1)观察猜想:
图1中,△PMN的形状是_____;
(2)探究证明:
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△PMN的形状是否发生改变?
并说明理由;
(3)拓展延伸:
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值.
3.(2018•宁河县一模)如图①,将边长为2的正方形OABC如图①放置,O为原点.
(Ⅰ)若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时,如图②,求点A的坐标;
(Ⅱ)如图③,若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时,求点B的坐标.
知识点4中心对称
1.中心对称图形与对称中心:
在平面内,某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
2.中心对称和对称中心:
在平面内,把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形完全重合,那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称,这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点。
3.中心对称和中心对称图形的关系:
它们都是图形关于某点成中心对称,但中心对称图形是指一个图形,表示一个图形的特性;成中心对称是针对两个图形而言,表示两个图形之间的对称关系,二者是相对的。
4.中心对称的特征:
成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且都被对称中心平分;
反之,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
【典例】
1.如图,已知AB=3,AC=1,∠D=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 .
2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称,且A、B、C的对称点分别为D、E、F,若AB=5,AC=3,则EF的范围是
3.如图,直线a、b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 .
4.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是 .
【方法总结】
1.对称中心的确定:
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来,两条连线的交点就是对称中心
2.关于中心对称的作图:
(1)确定对称中心;
(2)确定关键点;
(3)作关键点的关于对称中心的对称点;
(4)连结各点,得到所需图形。
【随堂练习】
1.(2017春•昭通期末)在平面直角坐标系中,把点P(﹣5,3)向右平移8个单位得到点P1,P1关于原点的对称点是点P2,求点P2的坐标及P2到原点的距离.
2.(2016秋•城东区校级期中)直角坐标系第二象限内的点P(x2+2x,3)与另一点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
综合运用:
图形的平移与旋转
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,将△ABC绕点B旋转θ(0<θ<60°)到△A′BC′,边AC和边A′C′相交于点P,边AC和边BC′相交于Q,当△BPQ为等腰三角形时,求旋转角θ值。
3.如图,△ABC中,∠BAC=120°,AD为中线,将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE,连接BE,F为AC上一点,连接BF,∠ABE=∠AFB,AF=6,BE=7,则CF的长多少?
4.如图,在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。
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