学年高三数学大一轮复习讲义 25指数与指数函数 理 新人教A版docWord文档格式.docx
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a-==(a>
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>
0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a>
③(ab)r=arbr(a>
0,b>
0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>
1
0<
a<
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0,+∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>
0时,y>
1;
x<
0时,0<
y<
(5)当x>
(6)在(-∞,+∞)上是增函数
(7)在(-∞,+∞)上是减函数
数a按:
1和a>
1进行分类讨论.
[难点正本 疑点清源]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂
的运算,从而可以简化计算过程.
2.指数函数的单调性是底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:
进行分类讨论.
3.比较指数式的大小方法:
利用指数函数单调性、利用中间值.
1.化简[(-2)6]-(-1)0的值为________.
答案 7
解析 [(-2)6]-(-1)0=(26)-1=23-1=7.
2.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是__________.
答案 (-,-1)∪(1,)
解析 由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得0<
a2-1<
1,∴1<
a2<
2,即1<
或-<
-1.
3.若函数f(x)=ax-1(a>
0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.
答案
解析 当a>
1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1].
因定义域和值域一致,故a2-1=2,即a=.
当0<
1时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0].
此时,定义域和值域不一致,故此时无解.
综上,a=.
4.(2012·
四川)函数y=ax-(a>
0,且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
1时,y=ax-为增函数,且在y轴上的截距为0<
1-<
1,排除A,B.
1时,y=ax-为减函数,且在y轴上的截距为1-<
0,故选D.
5.设函数f(x)=a-|x|(a>
0,且a≠1),f
(2)=4,( )
A.f(-2)>
f(-1)B.f(-1)>
f(-2)
C.f
(1)>
f
(2)D.f(-2)>
f
(2)
答案 A
解析 ∵f(x)=a-|x|(a>
0,且a≠1),f
(2)=4,
∴a-2=4,∴a=,
∴f(x)=-|x|=2|x|,∴f(-2)>
f(-1),故选A.
题型一 指数幂的运算
例1
(1)计算:
(124+22)-27+16-2×
(8-)-1;
(2)已知x+x-=3,求的值.
思维启迪:
(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可;
(2)注意x2+x-2、x+x-与x+x-之间的关系.
解
(1)(124+22)-27+16-2×
(8-)-1
=(11+)2×
-33×
+24×
-2×
8-×
(-1)
=11+-3+23-2×
23×
=11+-+8-8=11.
(2)∵x+x-=3,∴(x+x-)2=9,
∴x+2+x-1=9,∴x+x-1=7,
∴(x+x-1)2=49,∴x2+x-2=47,
又∵x+x+-=(x+x-)·
(x-1+x-1)
=3×
(7-1)=18,
∴=3.
探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对
于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.
计算下列各式的值:
(1)-+(0.002)--10(-2)-1+(-)0;
(2)-(-1)0-;
(3)(a>
0).
解
(1)原式=-+--+1
=+500-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
(2)原式=-2-1-
=(-2)-1-(-2)=-1.
(3)原式==a+-1+b1+-2-=ab-1.
题型二 指数函数的图象、性质的应用
例2
(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论
正确的是( )
A.a>
1,b<
B.a>
1,b>
C.0<
D.0<
(2)求函数f(x)=3的定义域、值域及其单调区间.
对于和指数函数的图象、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函
数的关系入手.
答案
(1)D
解析 由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<
1.
函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<
0.
(2)解 依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,
∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).
∵≥0,∴f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是[1,+∞).
令u==,x∈(-∞,1]∪[4,+∞),
∴当x∈(-∞,1]时,u是减函数,
当x∈[4,+∞)时,u是增函数.
而3>
1,∴由复合函数的单调性,可知f(x)=3在(-∞,1]上是减函数,在[4,
+∞)上是增函数.
探究提高
(1)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进行讨论.
(1)函数y=的图象大致为( )
解析 y==1+,当x>
0时,e2x-1>
0,且随着x的增大而增大,故y=1
+>
1且随着x的增大而减小,即函数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减.又函
数y是奇函数,故只有A正确.
(2)若函数f(x)=e-(x-μ)2(e是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数,则m
+μ=________.
答案 1
解析 由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,
∴f(x)=e-x2.又y=ex是R上的增函数,而-x2≤0,
∴f(x)的最大值为e0=1=m,∴m+μ=1.
题型三 指数函数的综合应用
例3
(1)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?
有一解?
有两解?
(2)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
①若f(x)=,求x的值;
②若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
方程的解的问题可转为函数图象的交点问题;
恒成立可以通过分离参数求最
值或值域来解决.
解
(1)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k<
0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程
无解;
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象
有唯一的交点,所以方程有一解;
k<
1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解.
(2)①当x<
0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·
22x-3·
2x-2=0,
看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-,
∵2x>
0,∴x=1.
②当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>
0,∴m≥-(22t+1),
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程f(x)=g(x)解的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数;
复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构.
已知f(x)=(ax-a-x)(a>
0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
解
(1)因为函数的定义域为R,所以关于原点对称.
又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)当a>
1时,a2-1>
0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,
所以f(x)为增函数,
1时,a2-1<
0,
y=ax为减函数,y=a-x为增函数,
从而y=ax-a-x为减函数,所以f(x)为增函数.
故当a>
0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.
(3)由
(2)知f(x)在R上是增函数,
所以在区间[-1,1]上为增函数,
所以f(-1)≤f(x)≤f
(1),
所以f(x)min=f(-1)=(a-1-a)
=·
=-1,
所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,
故b的取值范围是(-∞,-1].
3.利用方程思想和转化思想求参数范围
典例:
(14分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<
0恒成立,求k的取值范围.
审题视角
(1)f(x)是定义在R上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建方
程:
f(0)=0,f
(1)=-f(-1).
(2)可考虑将t2-2t,2t2-k直接代入解析式化简,转化成关于t的一元二次不等式.也可
考虑先判断f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式.
规范解答
解
(1)因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,即=0,解得b=1,
从而有f(x)=.[4分]
又由f
(1)=-f(-1)知=-,
解得a=2.[7分]
(2)方法一 由
(1)知f(x)=,
又由题设条件得+<
即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<
0.[9分]
整理得23t2-2t-k>
1,因底数2>
1,故3t2-2t-k>
0.[12分]
上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<
解得k<
-.[14分]
方法二 由
(1)知f(x)==-+,
由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<
等价于f(t2-2t)<
-f(2t2-k)=f(-2t
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