圆各节知识点及典型例题Word格式.docx
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圆上任意叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧,每一条弧都叫做。
小于半圆的弧叫做,用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来,大于半圆的弧叫做,用弧两端的字母和中间的字母,再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆:
半径相等的两个圆叫做等圆;
也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆
5、点与圆的三种位置关系:
若点P到圆心O的距离为d,⊙O的半径为R,则:
点P在⊙O外;
点P在⊙O上;
点P在⊙O内。
6、线段垂直平分线上的点距离相等;
到线段两端点距离相等的点在上
7、过一点可作个圆。
过两点可作个圆,以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。
8、过的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆的圆心叫做三角形的,这个三角形叫做圆的。
三角形的外心是三角形三条边的
【典型例题】
【题型一】证明多点共圆
例1、已知矩形ABCD,如图所示,试说明:
矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上
【题型二】相关概念说法的正误判断
例1、(甘肃兰州中考数学)有下列四个命题:
①直径是弦;
②经过三个点一定可以作圆;
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;
④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有()
A.4个B.3个C.3个D.2个
例2、下列说法中,错误的是()
A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆
例3、下列命题中,正确的是()
A.三角形的三个顶点在同一个圆上B.过圆心的线段叫做圆的直径
C.大于劣弧的弧叫优弧D.圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径
例4、下列四个命题:
①经过任意三点可以作一个圆;
②三角形的外心在三角形的内部;
③等腰三角形的外心必在底边的中线上;
④菱形一定有外接圆,圆心是对角线的交点。
其中真命题的个数()
【题型三】点和圆的位置关系的判断
例1、⊙O的半径为5,圆心O在坐标原点上,点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外
例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,若以A点为圆心作⊙A,使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是
【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用
如“把破圆复原成完整的圆”;
如“找一点,使它到三点的距离相等”:
方法就是找垂直平分线的交点
例1、平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为
【题型五】圆中角的求解
如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=18°
,求∠AOC的度数
温馨提醒:
(1)在同圆或等圆中,直径为半径的2倍;
(2)圆中常用半径相等来构造等腰三角形,这些看似十分简单的性质和方法,却最容易被遗忘。
巩固练习
1、如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊(羊只能在草地上活动),请画出羊的活动区域。
3m
2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7,最小距离为1,那么此圆的半径为
3、如图,点A、D、G、M在半圆上,四边形ABOC,DEOF、HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系是
第5题
第3题
4、已知⊙O的半径为1,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0有实数根,则点P在⊙O的
5、如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用次就可以找到圆形工件的圆心
6、若线段AB=6,则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是
7、在Rt△ABC中,∠C=90°
,两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根,则△ABC的外接圆面积为
8、如图,平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C,其中B点坐标为(4,4),那么该圆弧所在圆的圆心坐标为
9、已知圆上有3个点,以其中两个点为端点的弧共有条
1、轴对称图形:
如果一个图形沿着某一条直线直线,直线两旁的部分能够,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴。
2、圆是轴对称图形,都是它的对称轴
3、垂径定理:
垂直于弦的直径,并且平分
4、分一条弧成的点,叫做这条弧的中点。
5、的距离叫做弦心距。
6、垂径定理的逆定理1:
平分弦()的直径垂直于弦,并且平分
垂径定理的逆定理2:
平分弧的直径
【题型一】应用垂径定理计算与证明
例1、如图所示,直径CE垂直于弦AB,CD=1,且AB+CD=CE,求圆的半径。
例2、如图所示,已知线段AB交⊙O于C、D两点,OA、OB分别交⊙O于E、F两点,且OA=OB,求证:
AC=BD
在垂径定理中,“垂直于弦的直径”可以是直径,可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段。
【题型二】垂径定理的实际应用
例1、某居民区内一处圆形下水道破裂,修理人员准备更换一段新管道,如图所示,污水的水面宽为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问:
修理人员应准备内径多大的管道?
要学会自己多画图,这样有助于书写解题过程。
例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小孔的直径AB是
【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用
例1、如图,已知M是的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4cm,MN=4cm。
(1)求圆心O到弦MN的距离
(2)求∠ACM的度数
【题型四】应用垂径定理把弧2等份,4等份等
1、下列说法正确的是()
A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴与对称中心重合
2、下列命题:
①垂直于弦的直径平分这条弦;
②平分弦的直径垂直于弦;
③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。
A.0个B.1个C.2个D.3个
3、如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长是整数,
则满足条件的点P有()个
A.2B.3C.4D.5
4、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,长度分别为6cm和8cm,则这两弦之间的距离为cm
5、圆的半径等于2cm,圆内一条弦长2cm,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于
6、如图,矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E,如果AM=2,DE=1,EF=8,那么MN的长为
7、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦。
若AB=10cm,CD=6cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为
8、如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,-4)、N(0,-10),函数y=(x<
0)的图象过点P,则k=
9、如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为
10、如图,已知AB、AC为弦,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,BC=4,则MN=
第10题
11、已知圆内接△ABC中,AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm,求腰AB的长
12、如图,已知⊙O的半径为10cm,弦AB⊥CD,垂足为E,AE=4cm,BE=8cm,求弦CD的长
13、如图,某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度(弦AB的长)为米,大棚顶点C离地面的高度为2.3米.
⑴求该圆弧形所在圆的半径;
⑵若该菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动的范围有多大?
14、⊙O的半径为2,弦BD=2,A为的中点,E为弦AC的中点,且在BD上。
求四边形ABCD的面积。
1、中心对称图形:
把一个图形绕着某一点,如果旋转后的图形能够与原来的图形,那么,这个图形叫做中心对称图形,这个点是它的
2、过中心对称图形的的任意一条直线可以平分其面积。
3、圆的旋转不变性:
将圆周绕圆心O旋转,都能与自身重合,这个性质叫做圆的旋转不变性。
4、圆心角:
叫做圆心角。
5、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的,所对的(这就是圆心角定理)
6、n°
的圆心角所对的弧就是,圆心角和的度数相等。
注意:
在题目中,若让你求,那么所求的是弧长
7、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么
都相等。
(姑且称之为圆心角定理的逆定理)
注解:
在由“弦相等,得出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等”时,这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等,优弧与优弧相等。
【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否
例1、下列说法:
①等弦所对的弧相等;
②等弧所对的弦相等;
③圆心角相等,所对的弦相等;
④弦相等,所对的圆心角相等;
⑤在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等。
正确的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等
例1、如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,PO平分∠APD。
求证:
AB=CD
例2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D,交⊙B于点E、F。
∠CAD=∠EBF
例3、如图所示,AB、CD是⊙O的直径,CE∥AB交⊙O于点E,那么与相等吗?
说明理由。
【题型三】计算弧的度数
例1、如图所示,C是⊙O的直径AB上一点,过点C作弦DE,使CD=CO,若的度数为40°
,求的度数
【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题
例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置,现在要在河边(直径所在的位置)修建水泵站,分别向两个村庄供水,求最小需要多少米的水管?
(提示:
将半圆补全,将军饮马问题)
1、如果两个圆心角相等,那么()
A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对
2、下列命题中,正确的是()
A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等
C.同圆或等圆中,两弦相等,所对的弧相等D.同圆或等圆中,相等的弦所对的弦心距也相等
3、在半径为1的圆中,长为的弦所对的圆心角的度数是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4、在⊙O中,AD是直径,AB、AC是它的两条弦,且AD平分∠BAC,那么:
①AB=AC;
②=;
③=;
④AD⊥BC。
以上结论中正确的有()
5、如图所示,在△ABC中,∠A=70°
,⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等,则∠BOC等于()
A.140°
B.135°
C.130°
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- 圆各节 知识点 典型 例题