最新人教A版选修22高中数学21合情推理与演绎推理212 导学案及答案Word格式.docx
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大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
S是P
要点一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;
(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除;
(3)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数.
解
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提
水会沸腾.结论
(2)一切奇数都不能被2整除,大前提
2100+1是奇数,小前提
2100+1不能被2整除.结论
(3)三角函数都是周期函数,大前提
y=tanα是三角函数,小前提
y=tanα是周期函数.结论
规律方法 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式:
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行;
(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;
(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;
(4)等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数),数列1,2,3,…,n是等差数列,所以数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.
解
(1)大前提:
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;
小前提:
海王星是太阳系里的大行星;
结论:
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
(2)大前提:
所有导体通电时发热;
铁是导体;
铁通电时发热.
(3)大前提:
一次函数都是单调函数;
函数y=2x-1是一次函数;
y=2x-1是单调函数.
(4)大前提:
等差数列的通项公式具有形式an=pn+q;
数列1,2,3,…,n是等差数列;
数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.
要点二 演绎推理的应用
例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D、E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.
(1)求证:
A1B⊥AD;
(2)求证:
CE∥平面AB1D.
证明
(1)连接BD.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,
∴A1ABB1为正方形,∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点,
∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D=BD,∵G为A1B的中点,∴A1B⊥DG,
又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD.
(2)连接GE,∵EG∥A1A,∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC,
∵GE=DC=
a,∴四边形GECD为平行四边形,∴CE∥GD.
又∵CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,
∴CE∥平面AB1D.
规律方法
(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.
跟踪演练2 求证:
函数y=
是奇函数,且在定义域上是增函数.
证明 y=
=1-
,
所以f(x)的定义域为R.
f(-x)+f(x)=
+
=2-
=2-2=0.
即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1<
x2.
则f(x1)-f(x2)=
-
=2
=2·
.
由于x1<
x2,从而2x1<
2x2,2x1-2x2<
0,
所以f(x1)<
f(x2),故f(x)为增函数.
要点三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3 如图所示,三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影.
O为△BCD的垂心;
(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.
(1)证明 ∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,
∴AD⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC.
∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,AO⊥BC,
∵AD∩AO=A,
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO,
∴O为△BCD的垂心.
(2)解 猜想:
S
+S
=S
证明:
连接DO并延长交BC于E,连结AE,
由
(1)知AD⊥平面ABC,
AE⊂平面ABC,
∴AD⊥AE,又AO⊥ED,
∴AE2=EO·
ED,
∴
2=
·
即S
=S△BOC·
S△BCD.
同理可证:
=S△COD·
S△BCD,
=S△BOD·
∴S
=S△BCD·
(S△BOC+S△COD+S△BOD)=S△BCD·
S△BCD=S
规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).
跟踪演练3 已知命题:
“若数列{an}是等比数列,且an>
0,则数列bn=
(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?
并证明你的结论.
解 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:
若数列{an}是等差数列,则数列bn=
也是等差数列.
证明如下:
设等差数列{an}的公差为d,则bn=
=
=a1+
(n-1),
所以数列{bn}是以a1为首项,
为公差的等差数列.
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=
(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理.
2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y=log
x是对数函数(小前提),所以y=log
x是增函数(结论).”下列说法正确的是( )
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
解析 y=logax是增函数错误.故大前提错.
3.把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:
________;
________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线
4.“如图,在△ABC中,AC>
BC,CD是AB边上的高,求证:
∠ACD>
∠BCD”.
在△ABC中,
因为CD⊥AB,AC>
BC,①
所以AD>
BD,②
于是∠ACD>
∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)
答案 ③
解析 由AD>
BD,得到∠ACD>
∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边对大角”,小前提是“AD>
BD”,而AD与BD不在同一三角形中,故③错误.
1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;
只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确.
2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提.
一、基础达标
1.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③B.②③④
C.②④⑤D.①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.
2.《论语·
学路》篇中说:
“名不正,则言不顺;
言不顺,则事不成;
事不成,则礼乐不兴;
礼乐不兴,则刑罚不中;
刑罚不中,则民无所措手足;
所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.类比推理B.归纳推理
C.演绎推理D.一次三段论
答案 C
解析 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.
3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( )
A.结论正确B.大前提不正确
C.小前提不正确D.全不正确
解析 由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.
4.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析:
大前提:
矩形都是对角线相等的四边形;
四边形ABCD是矩形;
四边形ABCD的对角线相等.
5.三段论:
“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校;
②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校;
③小宏在2013年的高考中正常发挥”中,“小前提”是________(填序号).
答案 ③
解析 在这个推理中,②是大前提,③是小前提,①是结论.
6.在求函数y=
的定义域时,第一步推理中大前提是当
有意义时,a≥0;
小前提是
有意义;
结论是________.
答案 y=
的定义域是[4,+∞)
解析 由大前提知
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