全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答word资料13页Word文档下载推荐.docx
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日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
方法二不妨设,由于,
而积分关于在上一致收敛,故可交换积分次序
方法三将固定,记,可证在上收敛.
设 因为,而收敛,
所以由Weierstrass判别法知道 对一致收敛.所以可以交换微分运算和积分运算的次序, 即
由的任意性,上式在上成立.
所以 ,由于 所以,
即.
(2)若关于的方程,在区间内有唯一的实数解,求常数.
解:
设,则有,
当时,;
当时,.
由此在处达到最小值,
又在内有唯一的零点,
必有,,
所以.
(3)设函数在区间上连续,由积分中值公式,有,,若导数存在且非零,
求.
,
由条件,可知
故有.
二、设函数在附近可微,,,
定义数列.
证明:
有极限并求其值.
由导数的定义,
对于任意,存在,当时,有.
于是,
从而,当时,有,
,其中.
对于上式求和,得到
即,
令,有
由的任意性,得到.
设在上有定义,在处可导,且.
.
三、设函数在上一致连续,且对任何,有,
。
试举例说明,仅有在上的连续性推不出上述结论。
证明证法一
由在上一致连续,对,,
当
且时,
便有;
取定充分大的正整数,使得。
现把区间等分,设其分点为,每个小区间的长度小于。
对于任意,;
从而必有,使得;
由条件对每个,有;
于是存在,当时,,对都成立;
故当时,便有
即得,结论得证。
证法二设,由题设条件知
在上等度一致连续,对每一,有;
利用Osgood定理得,在上一致收敛于0,
对,存在,当时,
有,,
从而当时,有,
设在上的连续,且对任何,
有,但推不出。
例如函数
满足在上的连续,且对任何,有,
但不成立。
四、设,在内连续,在内连续有界,且满足条件:
在中与有二阶偏导数,
在内处处成立.
设,
则有
于是,,;
由已知条件,存在,当时,
有,.
记,
设,我们断言,必有,
假若,则必有,使得;
易知,.
这与矛盾,
所以
从而,;
由的任意性,得
故在内处处成立.
五、设.
考虑积分,,定义,
(1)证明;
(2)利用变量替换:
,计算积分的值,并由此推出.
(1)由,在上一致收敛,可以进行逐项积分
又,
所以关于是一致收敛的,可以逐项求极限,
于是有.
故有;
注意到区域关于轴对称
或者利用分部积分,得
于是,
故.
2019年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答
一、计算题
(1)求极限
解法1直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到,
由于,
所以
解法2利用,得
由于,
所以.
(2)计算,
其中为下半球的上侧,.
解法一.先以代入被积函数,
补一块有向平面,其法向量与轴正向相反,
利用高斯公式,从而得到
其中为围成的空间区域,为上的平面区域,
于是
解法二.直接分块积分
其中为平面上的半圆,.
利用极坐标,得
其中为平面上的圆域,,
用极坐标,得
因此.
(3)现要设计一个容积为的圆柱体的容积,已知上下两低的材料费为单位面积元,而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案:
即高与上下底面的直径之比为何值时,所需费用最少?
设圆柱体的高为,底面直径为,费用为,
根据题意,可知,
当且仅当时,等号成立,
故当时,所需要的费用最少.
(4)已知在内满足求.
所以,.
二、求下列极限.
(1);
(2),其中,,.
(1)
一般地,有,其中,,
3.设在点附近有定义,且在点可导,,,
四、设在上连续,无穷积分收敛,求.
设,由条件知,,
利用分部积分,得
5.设函数在上连续,在内可微,且,.
(1)存在,使得;
(2)对于每一,存在,使得.
(1)令,
由题设条件,可知,
利用连续函数的介值定理,得
存在,使得,即.
(2)令,
由题设条件和
(1)中的结果,可知,
利用罗尔中值定理,得
存在,使得,
由,
即得.
六、试证:
对每一个整数,成立
分析:
这是一个估计泰勒展开余项的问题,其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
显然时,不等式成立;
下设.
这样问题等价于证明
即
令上式化为
从而等价于,
只要证明,
设,则只要证明
就有,
则问题得证.
以下证明,,成立
上式等价于,
令,
则,并且对,有
从而当时,,
这样问题得证.
注:
利用这一结论,我们可以证明如下结论.
六、设为整数,,证明方程,在上至少有一个根.
六、证明:
存在,使得.
则有,
由连续函数的介值定理,得
故问题得证.
这里是由于,,
在上严格单调递减,
所以,当时,有.
七、是否存在上的可微函数,使得,若存在,请给出一个例子;
若不存在,请给出证明。
证明如果这样的函数存在,
我们来求的不动点,即满足的,
由此得,这表明有唯一的不动点,易知也仅有唯一的不动点,,在等式,两边对求导,得
让,即得,这是不可能的,故这样的函数不存在。
八、设函数在上一致连续,且对任何,有,
证明
设在上的连续,且对任何,有,
但推不出上述结论。
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