高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or133非not学案新人教a版选修31.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or133非not学案新人教a版选修31
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)
学习目标:
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义.(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假.(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题,会判断命题的真假.(易错点)
[自主预习·探新知]
1.“且”
(1)定义[&%*@^]
一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q.读作“p且q”.
(2)真假判断
当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题.[~@^#&]
2.“或”[&@*%^]
(1)定义
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q.读作“p或q”.
(2)真假判断[@#%~&]
当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题.
思考1:
(1)p∨q是真命题,则p∧q是真命题吗?
(2)若p∨q与p∧q一个是真命题,一个是假命题,那么谁是真命题?
[提示]
(1)不一定,p∨q是真命题,p与q可能一真一假,此时p∧q是假命题.
(2)p∨q是真命题,p∧q是假命题.
3.“非”
(1)定义
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”.
(2)真假判断
若p是真命题,则p必是假命题;若p是假命题,则p必是真命题.
思考2:
命题的否定与否命题的区别是什么?
[提示]
(1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定,而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.[&*%^~]
(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的,即一真一假,而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系.
4.复合命题:
用逻辑联结词“且”;“或”;“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题.
复合命题的真假判断[~^%#@]
p
q
p∨q
p∧q
p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[基础自测][#&~%*]
1.思考辨析
(1)若p∧q为真,则p,q中有一个为真即可.( )
(2)若命题p为假,则p∧q一定为假.( )[@#%~^]
(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.( )
(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题.( )[@*%~^]
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0
B.x≠0或y≠0
C.x,y至少一个不为0
D.x,y不都是0[~&%@#]
A [xy≠0⇔x≠0且y≠0,故选A.]
3.已知p,q是两个命题,若“(p)∨q”是假命题,则( )
【导学号:
97792023】[*~^]
A.p,q都是假命题
B.p,q都是真命题
C.p是假命题,q是真命题
D.p是真命题,q是假命题
D [若(p)∨q为假命题,则p,q都是假命题,即p真q假,故选D.]
[合作探究·攻重难]
含有逻辑联结词的命题结构
指出下列命题的形式及构成它的简单命题.
(1)方程x2-3=0没有有理根;
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形;
(3)±1是方程x3+x2-x-1=0的根.
[解]
(1)这个命题是“非p”形式的命题,其中
p:
方程x2-3=0有有理根.
(2)这个命题是“p且q”形式的命题,其中p:
有两个内角是45°的三角形是等腰三角形,q:
有两个内角是45°的三角形是直角三角形.
(3)这个命题是“p或q”形式的命题,其中p:
1是方程
x3+x2-x-1=0的根,q:
-1是方程x3+x2-x-1=0的根.
[规律方法] 1.判断一个命题的结构,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题.
2.用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
[跟踪训练]
1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题.
(1)p:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
(2)p:
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.[%^&@#]
【导学号:
97792024】
[解]
(1)p∧q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p:
梯形没有一组对边平行.
(2)p∧q:
-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
p∨q:
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
p:
-1不是方程x2+4x+3=0的解.[~&%@#]
含逻辑联结词命题的真假判断
已知命题p:
方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:
函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨(q).
则其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4[&@%^*]
[思路探究] →
→
[解析] 由于Δ=(-2a)2-4×1×(-1)=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+<0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(q),(p)∨(q)是真命题,故选C.
[答案] C
[规律方法] 含逻辑联结词命题真假的
判断方法及步骤
(1)我们可以用口诀记忆法来记忆:
“p且q”全真才真,一假必假;“p或q”全假才假,一真必真;“非p”与p真假相对.
(2)判断复合命题真假的步骤:
①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“p”;[@%#&^]
②判断其中的简单命题p,q的真假;
③根据真值表判断复合命题的真假.
[跟踪训练][%*^]
2.
(1)已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
C [由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③q为真命题,则p∧(q)为真命题,④p为假命题,则(p)∨q为假命题.][#~^@%]
(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.
【导学号:
97792025】
①p:
1∈{2,3},q:
2∈{2,3};
②p:
2是奇数,q:
2是合数;[@#&~%]
③p:
4≥4,q:
23不是偶数;
④p:
不等式x2-3x-10<0的解集是{x|-2 不等式x2-3x-10<0的解集是{x|x>5或x<-2}.[%@~*&] [解] ①∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是真命题.[%#@&^] ②∵p是假命题,q是假命题, ∴p∨q是假命题,p∧q是假命题,p是真命题. ③∵p是真命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,p是假命题. ④∵p是真命题,q是假命题,[^#*%~] ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是假命题. 由复合命题的真假求参数的取值范围 [探究问题] 1.设集合A是p为真命题时参数的取值范围,则p为假命题时,参数的取值范围是什么? 提示: p为假命题时,参数的取值范围是∁RA. 2.设集合M、N分别是p,q分别为真命题时参数的取值范围,则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么? 提示: 当p∨q为真命题时,参数的取值范围是A∪B. 当p∧q为真命题时,参数的取值范围是A∩B. 已知p: 关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q: 关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围. [思路探究] [解] 当x2+mx+1=0有两个不相等的负根为真时,解之得m>2, 当4x2+4(m-2)x+1=0无实根为真时,16(m-2)2-16<0,解之得1 因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p与q一真一假. 若p真q假,则所以m≥3.[*&%^@] 若p假q真,则所以1 所以m的取值范围为1 母题探究: 1.本例题条件不变,试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围.[~#*%&] [解] 由例题知,当p为真时,m>2,当q为真时1 当p∧q为真命题时,2 2.(变条件)本例题中,若命题p改为“关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},命题q改为“函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R”.其他不变,试求a的取值范围.[&*~^%] [解] 根据关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R,则解得a>. 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题. 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”. 故或 解得01. 所以,a的取值范围是∪(1,+∞).[*@~#%] [规律方法] 根据命题的真假求参数范围的步骤 1求出p、q均为真时参数的取值范围; 2根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假; 3根据p、q的真假求出参数的取值范围. [当堂达标·固双基] 1.若命题“p∧q”为假,且p为假,则( ) A.p∨q为假 B.q假 C.q真D.p假[~%@&*] B [由p为假知,p为真,又p∧q为假,则q假,故选B.][@~%#^] 2.给出下列命题: [&@^~#] ①2>1或1>3; ②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;[@&%#^] ③25是6或5的倍数; ④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D [对于①,是“或”命题,且2>1是真命题,故①是真命题.对于②,是“或”命题,且Δ=(-2)2+16=20>0,故②是真命题.对于③,是“或”命题,且25是5的倍数,故③是真命题.对于④,是“且”命题,且集合A∩B是A的子集,也是A∪B的子集.故④是真命题,故选D.] 3.已知命题: p: 对任意x∈R,总有2x>0; q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∧q C.p∧qD.p∧q D [因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、p为假命题,q为真命题,p∧q、p∧q为假命题,p∧q为真命题,故选D.] 4.已知命题p: 函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q: 函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取
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