新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义.docx
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新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义
一元二次方程
内容简介:
1.了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式:
.
2.掌握一元二次方程的四种解法,并能灵活运用.3.掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解相应问题.4.掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它们解决有关问题.5.会解一元二次方程应用题.
知识点一:
一元二次方程的定义及一般形式
【知识要点】
一元二次方程的一般形式:
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
AB
CD
变式:
当k时,关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。
针对练习:
1、方程的一次项系数是,常数项是。
2、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。
知识点二:
一元二次方程的解
【知识要点】
1、当已知一元二次方程的一个根时,要熟练地将这个根代入原方程,并灵活运用得到的等式。
2、在中,x取特殊值时,a、b、c之间满足的关系式。
例1、已知的值为2,则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。
例3、一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为。
例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为。
针对练习:
1、已知方程的一根是2,则k为,另一根是。
2、已知m是方程的一个根,则代数式。
3、已知是的根,则。
4、方程的一个根为()
AB1CD
5、若。
知识点三:
一元二次方程的解法
【知识要点】
一元二次方程的常用解法有
(1)直接开平方法,
(2)配方法,(3)求根公式法,(4)因式分解法。
通常可以这样选择合适的解法:
(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法。
(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解。
(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法。
(4)当不便用上面三种方法时,就用求根公式法。
例1、解方程:
例2、若,则x的值为。
例3、的根为()
ABCD
例4、若,则4x+y的值为。
变式1:
。
变式2:
若,则x+y的值为。
变式3:
若,,则x+y的值为。
例5、方程的解为()
A.B.C.D.
针对练习:
1、若实数x、y满足,则x+y的值为()
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
2、方程:
的解是。
3.解方程:
知识点四:
配方法运用
【知识要点】
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
例:
用配方法解
第一步,将二次项系数化为:
,(两边同除以)
第二步,移项:
第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:
第四步,完全平方:
第五步,直接开平方:
,即:
例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。
例3、已知为实数,求的值。
变式:
已知,则.
知识点五:
降次思想的应用
【知识要点】
利用因式分解或整式的变形,巧妙地在运算中进行变形,从而达到降次的目的。
例1、已知,求代数式的值。
例2、如果,那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。
知识点六:
根的判别式理解与应用
【知识要点】
(1)一元二次方程根的情况:
①当时,方程有两个不相等的实数根;
②当时,方程有两个相等的实数根;
③当时,方程无实数根.
(2)判定一元二次方程根的情况;
(3)确定字母的值或取值范围。
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。
例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是()
A.B.C.D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.
针对练习:
1、当k时,关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时,二次三项式是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是.
4、若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是()
A.B.且C.≤D.≤且
5、一元二次方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根
6、已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数,当____________时,得到的方程有两个不相等的实数根;
7、若关于的方程有两个相等的实数根,求的取值范围。
8、已知关于的方程,当为何非负整数时:
(1)方程只有一个实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不等的实数根.
9、已知是三角形的三条边,求证:
关于的方程没有实数根.
10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B. C.≥ D.
11、一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是__________.
12、求证:
关于的方程有两个不相等的实数根。
知识点七:
根与系数的关系(韦达定理)
【知识要点】
韦达定理:
如一元二次方程的两根为,则,
适用题型:
(1)已知一根求另一根及未知系数;
(2)求与方程的根有关的代数式的值;
(3)已知两根求作方程;
(4)已知两数的和与积,求这两个数;
(5)确定根的符号:
(是方程两根);
(6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.
注意:
(1)
(2);
(3)①方程有两正根,则;
②方程有两负根,则;
③方程有一正一负两根,则;
(4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为,即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时,需使二次项系数,同时满足≥;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和,两根之积的代数式的形式,整体代入。
针对练习:
1、已知方程的两根是,则:
,=,
2、已知方程的一个根是1,则另一个根是,的值是.
3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数,则p=______,若两根互为倒数,则q=_____.
4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是–1、3,则b=,,c=.
5、若方程中有一个根为零,另一个根非零,则的值为()
(A)(B)(C)(D)
6、两根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
7、已知方程,则下列说中,正确的是()
(A)方程两根和是1(B)方程两根积是2
(C)方程两根和是(D)方程两根积是两根和的2倍
8、已知方程的两个根都是整数,则的值可以是()
(A)—1(B)1(C)5(D)以上三个中的任何一个
9、已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是,则这个方程是()
(A)(B)(C)(D)
10、如果方程与方程有一个公共根是3,求,的值,并求方程的另一个根.
11、已知关于x的方程(a2–3)x2–(a+1)x+1=0的两个实数根互为倒数,求a的值.
12、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2。
这个方程的根应该是什么?
知识点八:
一元二次方程应用题
【传播问题】
例1:
有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
【分析】:
设平均一个人传染了x个人。
最开始有一人患流感,
第一轮传染时,传染源是人,新感染了人,共有人感冒。
第二轮传染时,传染源是人,新感染了人,共有人感冒。
你发现题目的等量关系了吗?
请试着列出方程并求解。
(教师注意点评)
如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?
例2:
某种树木的主干长出若干支杆,每个支杆又长出同样数目的小分支,主干、支杆和小分支的总数为91,每个支杆长出多少小分支?
巩固练习:
1、生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,那么根据题意列出的方程是()
A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182
C.2x(x+1)=182D.x(1-x)=182×2
2、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共().
A.12人B.18人C.9人D.10人
3、学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛),共进行了15场比赛,那么有几个球队参加了这次比赛?
4、一个多边形有35条对角线,求这个多边形的边数。
5、一个两位数等于它的个位数的平方,且十位数字比个位数字小3,求这个两位数。
6、三个连续奇数,其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和,试求这三个数。
7、一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原数的乘积为736,求原来的两位数。
8、若直角三角形的三边长为连续偶数,求这个直角三角形的面积。
【变化率问题】
例:
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:
甲种药品的成本由5000元降至3000元是经历了几年下降?
乙种药品的成本由6000元降至3600元是经历了几年下降?
①、设甲种药品成本的年平均下降率为x,则:
一年后甲种药品的成本是元,两年后甲种药品的成本是元,
依此可列方程并求解:
②、设乙种药品成本的年平均下降率为x,则:
一年后乙种药品的成本是元,两年后乙种药品的成本是元,
依此可列方程并求解:
③、通过上面的求解,请作答:
点评:
经过计算,你能得出什么结论?
成本下降额较大的药品,它的下降率一定也较大吗?
应怎样全面地比较几个对象的变化状态?
巩固训练:
1、随县2008年农民人均年收入为7800元,计划到2010年,农民人均年收入达到9100元,求人均年收入的平均增长率。
2、某电脑公司2010年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,第一季度的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率。
3、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价()
A、10%B、19%C、9.5%D、20%
4、国家实施惠农政策后,某镇农民人均收入经过两年提高44%,这两年,该镇农民人均收入平均年增长率是()
A、22%B、20%C、10%D、11%
5、党的十六大提出全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化,力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番,在本世纪的头20年,要实现这一目标,以10年为单位计算,每个10年的国民生产总值的增长率都是x,则可列方程是()
A、(1+2x)
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