用导数法求函数的最值的练习题解析Word格式文档下载.docx
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时,y=
;
当x=1时,y=2.
所以函数的最小值为-1,故应选C.
4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为( )
A.最大值为13,最小值为
B.最大值为1,最小值为4
C.最大值为13,最小值为1
D.最大值为-1,最小值为-7
[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,
令y′=0,∴x=
,f(-3)=13,f
=
,f(0)=1.
5.函数y=
+
在(0,1)上的最大值为( )
B.1
C.0D.不存在
[解析] y′=
-
·
由y′=0得x=
,在
上y′>
0,在
上
y′<
0.∴x=
时y极大=
,
又x∈(0,1),∴ymax=
.
6.函数f(x)=x4-4x(|x|<
1)( )
A.有最大值,无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,有最小值
D.既无最大值,也无最小值
[答案] D
[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1)
∴该方程无解,
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A.5,-15B.5,4
C.-4,-15D.5,-16
[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),
令y′=0,得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5,f
(2)=-15,f(3)=-4,
∴ymax=5,ymin=-15,故选A.
8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为
,则a等于( )
A.-
B.
C.-
D.
或-
[解析] y′=-2x-2,令y′=0得x=-1.
当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.
当-1<
a<
2时,f(x)在[a,2]上单调递减,
最大值为f(a)=-a2-2a+3=
解得a=-
或a=-
(舍去).
9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是
( )
A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B.-3<
k<
-1或1<
3
C.-2<
2
D.不存在这样的实数
[答案] B
[解析] 因为y′=3x2-12,由y′>
0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y′<
0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1<
-2<
k+1或k-1<
2<
k+1,解得-3<
3,故选B.
10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)
[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0在[1,+∞)上恒成立
即a≥-3x2在[1,+∞)上恒成立
又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3
∴a≥-3,故应选B.
二、填空题
11.函数y=x
+(1-x)
,0≤x≤1的最小值为______.
[答案]
由y′>
0得x>
,由y′<
0得x<
此函数在
上为减函数,在
上为增函数,∴最小值在x=
时取得,ymin=
12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________.
[答案] 不存在;
-28
[解析] f′(x)=-36+6x+12x2,
令f′(x)=0得x1=-2,x2=
当x>
时,函数为增函数,当-2≤x≤
时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f
=-28
,所以最小值为-28
13.若函数f(x)=
(a>
0)在[1,+∞)上的最大值为
,则a的值为________.
-1
[解析] f′(x)=
令f′(x)=0,解得x=
或x=-
(舍去)
时,f′(x)<
0;
当0<
x<
时,f′(x)>
时,f(x)=
<
1,不合题意.
∴f(x)max=f
(1)=
,解得a=
-1.
14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m=________.
[答案] 32
[解析] f′(x)=3x2-12
由f′(x)>
2或x<
-2,
由f′(x)<
0得-2<
2.
∴f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.
又f(-3)=17,f(-2)=24,f
(2)=-8,
f(3)=-1,
∴最大值M=24,最小值m=-8,
∴M-m=32.
三、解答题
15.求下列函数的最值:
(1)f(x)=sin2x-x
(2)f(x)=x+
[解析]
(1)f′(x)=2cos2x-1.
令f′(x)=0,得cos2x=
又x∈
,∴2x∈[-π,π],
∴2x=±
,∴x=±
∴函数f(x)在
上的两个极值分别为
f
,f
=-
又f(x)在区间端点的取值为
比较以上函数值可得f(x)max=
,f(x)min=-
(2)∵函数f(x)有意义,
∴必须满足1-x2≥0,即-1≤x≤1,
∴函数f(x)的定义域为[-1,1].
f′(x)=1+
(1-x2)-
(1-x2)′=1-
.
令f′(x)=0,得x=
∴f(x)在[-1,1]上的极值为
又f(x)在区间端点的函数值为f
(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得f(x)max=
,f(x)min=-1.
16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间
上的最大值和最小值.
[解析] f(x)的定义域为
f′(x)=2x+
当-
-1时,f′(x)>
0,
所以f(x)在
上的最小值为
=ln2+
又f
-f
=ln
-ln
所以f(x)在区间
上的最大值为f
17.(2010·
安徽理,17)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:
当a>
ln2-1且x>
0时,ex>
x2-2ax+1.
[分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
解题思路是:
(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.
(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.
[解析]
(1)解:
由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f′(x)
f(x)
单调递减
2(1-ln2+a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明:
设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由
(1)知当a>
ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>
0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>
0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>
ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>
g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>
即ex-x2+2ax-1>
0,故ex>
18.已知函数f(x)=
,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
[解析]
(1)对函数f(x)求导,得
f′(x)=
令f′(x)=0解得x=
或x=
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(0,
)
(
,1)
1
-4
-3
所以,当x∈(0,
)时,f(x)是减函数;
当x∈
时,f(x)是增函数.
当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].
(2)g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g
(1),g(0)].
又g
(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,
则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].
即
解①式得a≥1或a≤-
解②式得a≤
又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤
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