高考数学一轮复习 课标通用 第九章解析几何92两直线的位置关系学案理Word文档格式.docx
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由条件知,直线l的斜率k=-1,则其方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
(2)[教材习题改编]过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|=________.
依题意有=1,即b-a=1,则|AB|==.
两直线位置关系的重点:
平行和垂直.
(1)若直线l1:
2x+my+1=0与直线l2:
y=3x-1平行,则m=________.
-
若l1∥l2,则需满足
得
所以m的值是-.
(2)[2016·
辽宁锦州模拟]若直线l1:
kx+(1-k)y-3=0和l2:
(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=________.
-3或1
由k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0,得k=1或k=-3.
[典题1]
(1)[2017·
重庆巴蜀中学模拟]若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于( )
A.1B.-C.-D.-2
[答案] D
[解析] 由a·
1+2·
1=0,得a=-2,故选D.
(2)[2017·
浙江金华十校模拟]“直线ax-y=0与直线x-ay=1平行”是“a=1”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由直线ax-y=0与x-ay=1平行,得a2=1,即a=±
1,所以“直线ax-y=0与x-ay=1平行”是“a=1”的必要不充分条件.
(3)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
[答案] A
[解析] 依题意,设所求的直线方程为x-2y+a=0,由于点(1,0)在所求直线上,则1+a=0,即a=-1,则所求的直线方程为x-2y-1=0.
(4)经过两直线l1:
x-2y+4=0和l2:
x+y-2=0的交点P,且与直线l3:
3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.
[答案] 4x+3y-6=0
[解析] 解法一:
由方程组得即P(0,2).
∵l⊥l3,∴直线l的斜率k=-,
∴直线l的方程为y-2=-x,
即4x+3y-6=0.
解法二:
∵直线l过直线l1和l2的交点,
∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.
∵l与l3垂直,
∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,
∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.
[点石成金] 1.由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1:
A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
l2:
A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2平行
的充分条件
=≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
==(A2B2C2≠0)
在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答.
2.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.
3.常见的三大直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是
Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是
Bx-Ay+m=0(m∈R).
(3)过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
考点2 距离公式的应用
三种距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=
点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离
d=
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
距离问题中的易错点:
平行线间的距离.
两平行直线3x-4y-1=0与6x-8y+18=0间的距离是________.
2
两平行直线的方程分别是3x-4y-1=0和3x-4y+9=0,
由两平行线间的距离公式得,
所求距离d==2.
两平行直线l1,l2分别过点A(1,0),B(0,5),若l1与l2间的距离为5,则l1与l2的方程分别为________.
y=0与y=5或5x-12y-5=0与5x-12y+60=0
依题意,两条直线的斜率必存在.
设所求直线方程为l1:
y=k(x-1),l2:
y=kx+5.
∵两条平行直线间的距离为5,
∴=5,
解得k=0或k=,
∴所求直线方程为l1:
y=0,l2:
y=5或l1:
5x-12y-5=0,l2:
5x-12y+60=0.
[典题2] 直线l经过点P(2,-5)且与点A(3,-2)和点B(-1,6)的距离之比为1∶2,求直线l的方程.
[解] 当直线l与x轴垂直时,此时直线l的方程为x=2,
点A到直线l的距离为d1=1,点B到直线l的距离为d2=3,不符合题意,
故直线l的斜率必存在,设为k,
∵直线l过点P(2,-5),
∴设直线l的方程为y+5=k(x-2),
即kx-y-2k-5=0.
∴点A(3,-2)到直线l的距离
d1==,
点B(-1,6)到直线l的距离
d2==.
∵d1∶d2=1∶2,∴=,
∴k2+18k+17=0,∴k1=-1,k2=-17.
∴所求直线方程为x+y+3=0和17x+y-29=0.
[点石成金] 利用距离公式应注意:
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
1.[2017·
四川绵阳一诊]若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A.B.C.D.
C
因为=≠,所以两直线平行,
由题意可知,|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,
即=,所以|PQ|的最小值为.
2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________.
x+3y-5=0或x=-1
解法一:
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则它的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知,=,
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-,
∴直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
综上知,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),
∴直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
考点3 对称问题
[考情聚焦] 对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.
主要有以下几个命题角度:
角度一
点关于点的中心对称问题
[典题3] 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________.
[答案] x+4y-4=0
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,
代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,
即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
角度二
点关于直线的对称问题
[典题4] 已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________.
[答案]
[解析] 设A′(x,y),由已知得
解得
故A′.
角度三
直线关于直线的对称问题
[典题5] 已知直线l:
2x-3y+1=0,求直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
[解] 在直线m上任取一点,如M(2,0),
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点M′(a,b),则
∴M′.
设直线m与直线l的交点为N,则
由得N(4,3).
又∵m′经过点N(4,3),
∴由两点式,得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
角度四
对称问题的应用
[典题6] 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于________.
[解析] 以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC的重心D,
设AP=x,则P(x,0),x∈(0,4),
由光的反射定理知,点P关于直线BC,AC的对称点P1(4,4-x),P2(-x,0),与△ABC的重心D共线,
所以=,
解得x=,AP=.
[点石成金] 1.点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
2.解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
3.若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:
①若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;
②若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
4.解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:
一是两对称点的连线与对称轴垂直;
二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.
[方法技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1∥l2⇔k1=k2;
l1⊥l2⇔k1·
k2=-1.
2.与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠
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