届人教A版 利用导数研究函数零点问题 检测卷Word文档格式.docx
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(2)当a<
1时,试确定函数g(x)=f(x-a)-x2的零点个数,并说明理由.
答案精析
1.
(1)解 f′(x)=2xex+(1+x2)ex
=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex,∀x∈R,f′(x)≥0恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
(2)证明 ∵f(0)=1-a,f(a)=(1+a2)ea-a,
∵a>
1,∴f(0)<
0,f(a)>
2aea-a>
2a-a=a>
0,
∴f(0)·
f(a)<
∴f(x)在(0,a)上有一个零点,
又∵f(x)在(-∞,+∞)上递增,
∴f(x)在(0,a)上仅有一个零点,
∴f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.
2.解
(1)因为f′(x)=x2-k,
当k=4时,f′(x)=x2-4,
令f′(x)=x2-4=0,
所以x1=2,x2=-2.
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞);
单调递减区间是(-2,2).
(2)令g(x)=f(x)-k,
由题意知,g(x)只有一个零点.
因为g′(x)=f′(x)=x2-k.
当k=0时,g(x)=x3,
所以g(x)只有一个零点0.
当k<
0时,g′(x)=x2-k>
0对x∈R恒成立,
所以g(x)单调递增,所以g(x)只有一个零点.
当k>
0时,令g′(x)=f′(x)=x2-k=0,解得x1=或x2=-.
g′(x),g(x)随x的变化情况如下表:
(-∞,-)
(-,)
(,+∞)
g′(x)
g(x)
g(x)有且仅有一个零点等价于g(-)<
即k-k<
0,解得0<
k<
.
综上所述,k的取值范围是k<
3.解
(1)当a=-1时,f(x)=,f′(x)=.
由f′(x)=0,得x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,2)
所以,函数f(x)的极小值为f
(2)=-,函数f(x)无极大值.
(2)F′(x)=f′(x)==.
当a<
0时,F′(x),F(x)随x的变化情况如下表:
F′(x)
F(x)
若使函数F(x)没有零点,当且仅当F
(2)=+1>
解得a>
-e2,所以此时-e2<
a<
0.
故实数a的取值范围为(-e2,0).
4.解
(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为2,所以f′
(1)=2,
又f′(x)=lnx++1,所以a=1.
(2)当k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.
设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-,
当x∈(0,1]时,h(x)<
又h
(2)=3ln2-=ln8->
1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.
因为h′(x)=lnx++1+,
所以当x∈(1,2)时,h′(x)>
1->
0,当x∈[2,+∞)时,h′(x)>
所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增,
所以当k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.
5.解
(1)因为f(x)=(x+a)ex,x∈R,所以f′(x)=(x+a+1)ex.
令f′(x)=0,得x=-a-1.
当x变化时,f(x)和f′(x)的变化情况如下:
(-∞,-a-1)
-a-1
(-a-1,+∞)
故f(x)的单调递减区间为(-∞,-a-1),单调递增区间为(-a-1,+∞).
(2)结论:
函数g(x)有且仅有一个零点.
理由如下:
由g(x)=f(x-a)-x2=0,得方程xex-a=x2,
显然x=0为此方程的一个实数解,
所以x=0是函数g(x)的一个零点.
当x≠0时,方程可化简为ex-a=x.
设函数F(x)=ex-a-x,则F′(x)=ex-a-1,令F′(x)=0,得x=a.
当x变化时,F(x)和F′(x)的变化情况如下:
(-∞,a)
a
(a,+∞)
即F(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(-∞,a).
所以F(x)的最小值F(x)min=F(a)=1-a.
因为a<
1,所以F(x)min=F(a)=1-a>
所以对于任意x∈R,F(x)>
因此方程ex-a=x无实数解.
所以当x≠0时,函数g(x)不存在零点.
综上,函数g(x)有且仅有一个零点.
B卷
一、选择题
1.如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A.(0,]B.[,)
C.(,]D.[,π)
2.(2016·
福建福州三中月考)已知点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,则过点A的曲线C:
y=f(x)的切线方程是( )
A.6x-y-4=0B.x-4y+7=0
C.6x-y-4=0或x-4y+7=0D.6x-y-4=0或3x-2y+1=0
3.(2016·
兰州诊断)在直角坐标系xOy中,设P是曲线C:
xy=1(x>
0)上任意一点,l是曲线C在点P处的切线,且l交坐标轴于A,B两点,则以下结论正确的是( )
A.△OAB的面积为定值2
B.△OAB的面积有最小值3
C.△OAB的面积有最大值4
D.△OAB的面积的取值范围是[3,4]
4.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[1,)
C.[1,2)D.[,2)
5.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.1<
2B.1<
4
C.2<
4D.a>
4或a<
1
6.已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>
0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2]B.(0,2)
C.[,2)D.(,2)
7.如果函数f(x)=x3-x满足:
对于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤a2恒成立,则a的取值范围是( )
A.[-,]B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)D.(-∞,-]∪[,+∞)
8.(2017·
景德镇质检)已知f(x)=ax++2-2a(a>
0),若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.[1,+∞)
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
二、填空题
9.若函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是________________.
10.函数f(x)=ax-cosx,x∈[,],若∀x1,x2∈[,],x1≠x2,<
0,则实数a的取值范围是________.
11.若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则a的取值范围为________.
12.已知函数f(x)=(a>
0),若f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是________.
1.B [根据已知可得f′(x)≥,即曲线y=f(x)上任意一点的切线的斜率k=tanα≥,结合正切函数的图象,可知α∈[,),故选B.]
2.D [由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,则a=2,即y=2x3,所以y′=6x2.若点A为切点,则切线斜率为6,若点A不是切点,设切点坐标为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2.由两点的斜率公式,得=6m2(m≠1),即有2m2-m-1=0,解得m=1(舍去)或m=-.综上,切线的斜率为k=6或k=6×
=,则过点A的曲线C:
y=f(x)的切线方程为y-2=6(x-1)或y-2=(x-1),即6x-y-4=0或3x-2y+1=0.故选D.]
3.A [由题意,得y=.设点P(x0,y0)(x0>
0),y0=,y′=-,因此切线的斜率k=-,切线方程为y-y0=-(x-x0).当x=0时,y=y0+=;
当y=0时,x=xy0+x0=2x0,因此S△OAB=xy=2为定值.故选A.]
4.B [∵f(x)=2x2-lnx(x>
0),
∴f′(x)=4x-=(x>
由f′(x)=0,得x=,
当x∈(0,)时,f′(x)<
0;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>
据题意,
解得1≤k<
.]
5.B [y′=3x2-3a,当a≤0时,y′≥0,
函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;
当a>
0时,y′=3x2-3a=0⇒x=±
,不难分析,当1<
<
2,即1<
4时,函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值.]
6.D [由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,所以根据导函数图象可得
又a>
0,解得<
2.]
7.D [∵f′(x)=x2-1,
∴当0<
x<
1时,f′(x)<
当1<
2时,f′(x)>
∴f(x)=x3-x在x=1时取到极小值,也是x∈[0,2]上的最小值,
∴f(x)极小值=f
(1)=-=f(x)最小值,
又∵f(0)=0,f
(2)=,
∴在x∈[0,2]上,f(x)最大值=f
(2)=,∵对于任意的x1,x2∈[0,2],
∴都有|f(x1)-f(x2)|≤a2恒成立,
∴只需a2≥|f(x)最大值-f(x)最小值|=-(-)=即可,
∴a≥或a≤-.故选D.]
8.B [f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,即f(x)-2lnx≥0在[1,+∞)上恒成立.设g(x)=f(x)-2lnx=ax++2-2a-2lnx,则g′(x)=a--=.
令g′(x)=0,则x=1或x=.由于g
(1)=0,a>
0,因此≤1(否则是g(x)的极小值点,即
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