山东省诸城市桃林镇届中考数学压轴题专项汇编 专题30 函数与面积Word下载.docx
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一般步骤:
(1)设出直线表达式,两条平行的直线k值相等;
(2)通过已知点的坐标,求出直线表达式;
(3)求出题中要求的点;
(4)检验是否每个坐标都符合题意.
3、铅锤法
三角形的铅垂高指无论三角形怎么放,上方顶点到下方顶点的纵向距离(不是两点之间的距离,而是指两点之间上下距离,左右横向不用考虑).在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线,然后利用铅锤法,如图
(1)设出点的坐标;
(2)向x轴y轴作垂线对图形进行分割,利用铅锤法表示图形面积;
(3)根据题意列方程求解;
(4)检验是否符合题意.
4.等比转换法
若已知条件中的图形是相似的,可以将面积比转化为图形的线段比;
若已知条件中的图形是同底或等底的,可以将面积比转化为图形的对应高的比;
若已知条件中的图形是同高或等高的,可以将面积比转化为图形的对应底的比
(2)将图形的面积比转化为图形的线段比;
(3)列方程,求出参数;
例1如图,直线与双曲线交A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值
(2)若双曲线
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线)于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
解
(1)∵点A横坐标为4,
把x=4代入中
得y=2,
∴A(4,2),
∵点A是直线与双曲线)的交点,
∴k=4×
2=8;
(2)解法一:
如图,
∵点C在双曲线上,
当y=8时,x=1,
∴点C的坐标为(1,8).
过点A.
C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON.
∵S矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4.
∴S△AOC=S矩形ONDM−S△ONC−S△CDA−S△OAM=32−4−9−4=15;
解法二:
过点C.
A分别做x轴的垂线,垂足为E.
F,
∵点C在双曲线y=8x上,
∵点C.
A都在双曲线y=8x上,
∴S△COE=S△AOF=4,
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=12×
(2+8)×
3=15,
∴S△COA=15;
(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB,
∴四边形APBQ是平行四边形,
∴S△POA=S平行四边形APBQ×
14=14×
24=6,
设点P的横坐标为m(m>0且m≠4),
得P(m,8m),
过点P、A分别做x轴的垂线,垂足为E.
∵点P、A在双曲线上,
∴S△POE=S△AOF=4,
若0<m<4,如图,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.
∴(2+)⋅(4−m)=6
∴m1=2,m2=−8(舍去),
∴P(2,4);
若m>4,如图,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴(2+)⋅(m−4)=6,
解得m1=8,m2=−2(舍去),
∴P(8,1).
∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
例2如图,抛物线的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中AI(1,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标;
解:
(1)由题意,得,解得
∴抛物线的解析式为.
(2)①令,解得∴B(3,0)
当点P在x轴上方时,如图1,
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,
易求直线BC的解析式为,
∴设直线AP的解析式为,
∵直线AP过点A(1,0),代入求得.
∴直线AP的解析式为
解方程组,得
∴点
当点P在x轴下方时,如图1
设直线交y轴于点,
把直线BC向下平移2个单位,交抛物线于点,
得直线的解析式为,
∴
综上所述,点P的坐标为:
,
例3如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线(a≠0)与x轴交于A(-2,0),B(4.0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个电位长度的速度向点C运动,其中一个点到达终点时.另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,问:
运动多少秒时,△PBQ的面积最大,晟大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点K.使S△CBK∶S△PBQ=5∶2?
若存在,求点K的坐标;
若不存在,请说明理由.
解
(1)因为抛物线与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,所以y=a(x+2)(x-4)=ax2-2ax-8a.
所以-8a=-3,解得.b=-2a=-.所以抛物线的表达式为.
(2)如图1.过点Q作QH⊥x轴于点H.
在Rt△BCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5.sinB=.
在Rt△BQH中,BQ=t.所以QH=BQ·
sinB=.
所以S△PBQ=BP·
QH=(6-3t)×
=.
因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是.
(3)方法一:
等比转化法
当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,点P的坐标为(1,0),BQ=1.
如图2,因为△PBC与△PBQ是等高三角形,所以S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1.
当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1.
因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比是2∶1.
如图3,在x轴上点B的右侧取一点D.使得BD=BP,则点D的坐标为,
过点D作BC的平行线交抛物线于点K,过点K作KF⊥x轴于点E.
设点K的坐标为.由,得.
整理得.解得,.
所以点K的坐标为(1,)或(3,).
方法二:
铅垂法
由S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=,得S△CBK=.如图4.过点K作x轴的垂线交BC于点F,设点K的坐标为.
由于点F在直线BC上,所以点F的坐标为.
所以KF=.
△CBK被KF分割为△CKF和△BKF.它们以FK为底的高的和为OB=4.
所以S△CBK=,解得,.
进阶训练
1.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线变于点P.与直线BC相交干点M,连结PB.
(1)位于第一象限内的抛物线上是否存在点D.使得△BCD的面积最大?
若存在,求出点D的坐标及△BCD面积的最大值;
(2)抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?
著存在.求出点Q的坐标;
【答案】
(1)存在,点D的坐标为,S△BCD取最大值;
(2)存在,点Q的坐标为(2,3),或.
【提示】
(1)由题意可得y=-x2+2x+3.设D(t,-t2+2t+3).作DH⊥x轴于点H,
则S△BCD=S梯形DCOH+S△BDH-S△BOC=-t2+t=-.
从而当t=时,S△BCD取得最大值等,此时点D.
(2)易得直线BC的表达式为y=-x+3.点P,M的坐标分别为(1,4),(1,2).直线PM与x轴交于点E(1,0).所以PM=EM过点产且与直线BC平行的直线为y-x+5.
过点E且与BC平行的直线为y=-x+1.
两直线与抛物线的交点即为满足条件的点Q,所以点Q为Q1(2,3),Q2,
Q3
2.如图,抛物线y=与T轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,P是x轴下方抛物线上的一个动点(不与点C重合).连结PB.PC.设△PBC的面积为S,
(1)求S的取值范围;
(2)若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有个.
(1)0<S<5;
(2)11个,
(1)设点P的坐标为,如图,过点P作一轴的平行线,交BC于点F,则可得点F的坐标为.
①当点P在BC下方的抛物线上时.
可得FP=-,从而S=PF·
OB=-(m-2)2+4,此时0<S≤4;
②当点P在BC上方、x轴下方的抛物线上时.S最大=S△ABC=5.此时0<S<5,即得解.
(2)点P在x轴下方、BC上方时,面积为1,2,3,4的三角形各一个;
点P在BC下方时,面积为1,2,3的三角形各2个,面积为4的三角形为1个,共11个满足条件的△PBC.
3.如围,抛物线E:
y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A,B关于y轴的对称点分别为点A′,B′.P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重台的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
【答案】.
【挺示】易得点A(1,1).抛物线E2表达式为y=.如图,过点P作PC⊥x轴,垂足为C,PC交直线AA'
于点E;
过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D.P'
D交直线BB′于点F.依题意可设P(c,c2),P′(d,).其中c>0,c≠1.因为tan∠POC=tan∠P'
OD.则.可得d=2c.
.
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