线性代数习题导航行列式2Word格式.docx
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,所以行列式的值为。
(2)
该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行列式值为。
3.证明:
在全部元排列中,奇排列数与偶排列数相等。
证明:
。
,其中为偶排列数、其中为奇排列数。
4.若一个阶行列式中等于0的元素个数比多,则此行列式为0,为什么?
解由于0元个数比多,故从行列式中任选n个元素出来,必有一个为零。
又
5.阶行列式中,若负项的个数为偶数,则至少为多少?
(提示:
利用3题的结果)
阶行列式中负项的个数为,负项的个数为偶数,则至少满足
则
6.利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
(2)
注意到该行列式是范德蒙行列式
2行列式的性质
1.利用行列式的性质计算系列行列式。
(1)第3行与第4行相同。
(2)按第1列展开按第3列展开
(3)
按第一列展开
2.证明下列恒等式
(1)
(提示:
将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明)
记
同理可得
注
一般情况不能同时拆几行
原式
成比例为0
(3)
从最后一列起,后列的倍加到前一列)
3.已知四阶行列式D的第三行元素分别为:
;
第四行元素的对应的余子式依次是2,10,,4,求的值。
解第四行线数余子
∴
得
4.已知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除,证明:
能被13整除。
注意观察行列式中第2,3,4,5列元素的特点)
,故结论成立
注意
5.已知,
求:
(1);
(2)和。
利用行列式按行(列)展开的性质计算)
(1)
=0(第3列的元与乘以第2列的代数余子式)
(2)(行列式展第四行展开)
(第二行元与乘以第四行的代数余子式)
有
6.设,求的根。
解1:
首先,行列式展开式中含项,所以有四个根。
第一二两行相同0故是的解
同理可知是的根
又
故当时有,从而为方程的根
法二:
(下三角行列式)
即,所以根为
3行列式的计算
1.利用三角行列式的结果计算下列阶行列式
(1)
注意各行(列)元素之和相等)
可考虑按第一行(列)展开)
(上三角行列式)
=
可考虑第一行的倍加到各行,再化为三角行列式)
原式
2.用迭代法计算下列行列式
按第一行(列)展开,得递推公式:
=+2。
于是
1=11=1。
由此得:
2+
3+
(n-1)+
n+1。
(2)。
按第一行展开,有递推公式(a+b)+(-ab),得递推公式:
b
同理可得:
联立与,解方程组得:
3.利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
(1),
利用行列式的性质,先化行列式为标准形式的范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的结果计算行列式)
交换次将第行变至第2行
范德蒙行列式
(2),
在行中提出因子,
4.构造辅助行列式法计算下列行列式
(1)(缺行的范德蒙行列式)
构造辅助范德蒙行列式,为中元素的余子式,而
故中元素的系数为
故
构造辅助行列式,
则,而
或
5.用数学归纳法证明:
(1)时,等式显然成立;
(2)假定等式对于小于阶的行列式成立;
(3)(下证阶行列式成立)
由于,(注:
按最后一行(列)展开)
=
=
所以,
6.,求
将所有行加到最后一行)
故
3克来姆(Cramer)法则
1.用克来姆法则解下列方程组
解系数行列式
∴
2.当取何值时,方程组有非零解?
解系数行列式
当即或时方程组有非零解
当即且时方程组仅有零解
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