关于的中国的邮递员问地的题目和欧拉图地的应用文档格式.docx
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的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
性质2设C1、C2是图G的两个没有公共边,但有至少一个公共顶点的简单回路,我们
可以将它们合并成一个新的简单回路C'
。
欧拉回路算法:
1
在图G中任意找一个回路C;
2
将图G中属于回路C的边删除;
3
在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路;
4
将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。
由于该算法执行过程中每条边最多访问两次,因此该算法的时间复杂度为0(|E|)。
如果使用递归形式,得注意|E|的问题。
使用非递归形式防止栈溢出。
如果图是有向图,我们仍然可以使用以上算法。
有向图欧拉图和半欧拉图判定
Online/problem?
id=2337输出路径
中国邮递员问题①:
一个邮递员从邮局出发,要走完他所管辖的每一条街道,可重复走一条街道,然后返回邮局。
所有街道都是双向通行的,且每条街道都有一个长度值。
分析:
双向连通,即给定无向图G。
如果G不连通,则无解。
如果G是欧拉图,则显然欧拉回路就是最优路线。
如果G连通,但不是欧拉图,说明图中有奇点[3]。
奇点都是成对出现的,
证明从略。
对于最简单情况,即2个奇点,设(u,v)。
我们可以在G中对(u,v)求最短路径R,构造出新图G'
=GUR。
此时G'
就是欧拉图。
证明:
u和v加上了一条边,度加一,改变了奇偶性。
而R中其他点度加二,奇偶性不变。
由此可知,加一次R,能够减少两个奇点。
推广到k个奇点的情况,加k/2个R就能使度全为偶数。
接下的问题是求一个k个奇点的配对方案,使得k/2个路径总长度最小。
这个就是无向完全图最小权匹配问题。
有一种Edmonds算法,时间复杂度0(“铝)。
[4]
也可转换为二分图,用松弛优化的KM算法,时间复杂度也是0(NT)。
完整的算法流程如下:
1如果G是连通图,转2,否则返回无解并结束;
2检查G中的奇点,构成图H的顶点集;
3求出G中每对奇点之间的最短路径长度,作为图H对应顶点间的边权;
4对H进行最小权匹配;
5把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径,加入到图G中得到图G'
6在G'
中求欧拉回路,即所求的最优路线。
中国邮递员问题②:
和①相似,只是所有街道都是单向通行的。
单向连通,即给定有向图G。
和①的分析一样,我们来讨论如何从G转换为欧拉图G'
首先计算每个顶点v的入度与出度之差d'
(v)。
如果G中所有的v都有d'
(v)=0,那
么G中已经存在欧拉回路。
d'
(v)>0说明得加上出度。
(v)<0说明得加上入度。
而当d'
(v)=0,则不能做任何新增路径的端点。
可以看出这个模型很像网络流模型。
顶点d'
(v)>0对应于网络流模型中的源点,它发出d'
(v)个单位的流;
顶点d'
(v)
<
0对应于网络流模型中的汇点,它接收-d'
(v)个单位的流;
而d'
(v)=0的顶点,则
对应于网络流模型中的中间结点,它接收的流量等于发出的流量。
在原问题中还要求增加的
路径总长度最小,我们可以给网络中每条边的费用值设为图中对应边的长度。
这样,在网
络中求最小费用最大流,即可使总费用最小。
这样构造网络N:
1其顶点集为图G的所有顶点,以及附加的超级源和超级汇;
2对于图G中每一条边(u,v),在N中连边(u,v),容量为费用为该边的长度;
3从源点向所有d'
(v)>
0的顶点v连边(s,v),容量为d'
(v),费用为0;
4从所有d'
(v)<
0的顶点向汇点t连边(u,t),容量为-d'
(v),费用为0。
完整的算法流程如下:
1如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0,转2,否则返回无解并结束;
2计算所有顶点v的d'
(v)值;
3构造网络N;
4在网络N中求最小费用最大流;
5对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v),在图G中增加f(u,v)次得到G'
;
中求欧拉回路,即为所求的最优路线。
NPC问题:
如果部分街道能够双向通行,部分街道只能单向通行。
这个问题已被证明是NPC的。
[5]
[1]大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2]忽略有向图所有边的方向,得到的无向图称为该有向图的基图。
[3]度为奇数的顶点称为奇点。
[4]J.Edmonds,E.Johnson
《Matching,Eulertours,andtheChinesepostman
[5]C.Papadimitriou
《Thecomplexityofedgetraversing
中国邮递员问题的C++实现源代码
//PKU2337
#include<
cstdio>
string>
vector>
stack>
#include<
algorithm>
usingnamespacestd;
constintMAX=1100;
charstr[MAX][25];
intn,in[MAX],out[MAX];
vector<
words[30];
intvis[30];
intf[30],ss,is,os,ps;
intseq[MAX],step;
voidfind_euler(intpos)
•••{
inti,j;
while(out[pos])...{
for(;
vis[pos]<
words[pos].size();
)...{
stringsnext=words[pos][vis[pos]];
j=snext[snext.length()-1]」a'
out[pos]--;
vis[pos]++;
find_euler(j);
}
seq[step++]=pos;
voidunion_f(ints,inte)
intts=s,te=e;
while(s!
=-1&
&
f[s]!
=s)...{s=f[s];
if(s==-1)...{
f[ts]=s=ts;
while(e!
f[e]!
=e)...{intt=e;
e=f[e];
f[t]=s;
if(e>
=0)...{
f[e]=s;
intmain()
...{
intt,i,j;
scanf("
%d"
&
t);
while(t--)...{
scanf("
n);
getchar();
for(i=0;
i<
30;
i++)words[i].clear();
memset(in,O,sizeof(in));
memset(out,0,sizeof(out));
memset(f,-1,sizeof(f));
ss=is=os=ps=0;
i<
n;
i++)...{
gets(str[i]);
intlen=strlen(str[i]);
intchs=str[i][O]-'
a'
intche=str[i][len-1]-'
a'
words[chs].push_back(string(str[i]));
in[che]++;
out[chs]++;
union_f(chs,che);
boolflag=true;
if(f[i]==i)ss++;
if(in[i]==out[i]+1)os++;
elseif(in[i]+1==out[i])is++;
elseif(in[i]!
=out[i])flag=false;
if(ss>
1)flag=false;
if(!
(os==0&
is==0)&
!
(os==1&
is==1))flag=false;
if(!
flag)...{
puts("
***"
);
else...{
intspos;
if(os==1&
is==1)...{
i++)...{
if(in[i]+1==out[i])...{
spos=i;
break;
if(f[i]!
=-1)...{
i++)sort(words[i].begin(),words[i].end());
step=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
find_euler(spos);
〃memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=step-1;
i>
0;
i--)...{
spos=seq[i];
stringsnext;
for(j=0;
j<
words[spos].size();
j++)...{
snext=words[spos][j];
if(seq[i-1]==snext[snext.length()-1]」a'
)...{words[spos].erase(words[spos].begin()+j);
break;
printf("
%s"
snext.c_str());
if(i>
1)putchar('
.'
puts(””);
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