函数与导数专题练习.doc
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专题一:
函数与导数
一.主要数学思想:
分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。
常见讨论:
就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置,…等等。
构建应用:
这里主要是指构建出一个函数,把问题转化为考察函数的性质(如最值)来解决,如参数范围中的变量分离法。
多个变数时,可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块的函数,如。
函数与方程:
方程解的个数、解的范围等,转化为函数图象的交点个数及范围,反之亦然。
二.主要解题思路:
定义域求导导数的正负?
列表判断
三.主要题型再现:
(一)选择、填空:
1.若集合,则下列对应中,不是从P到Q的映射是()
A.B.C.D.
2.对任意的函数,在公共定义域内,规定,若,则的最大值为。
3.函数的定义域为且,已知为奇函数,当时,,那么当时的递减区间是()
A. B.C. D.
4.如果一个函数满足:
(1)定义域为;
(2)任意,若,则;(3)任意,若,则,则可以是()
A. B.C.D.
5.已知是上的奇函数,当时,,那么的值是()
A.B.C. D.
6.对于函数作代换,则不改变函数的值域的代换是()
A.B.C. D.
7.已知映射其中,对应法则
对于实数,在集合A中不存在原象,则的取值范围是()
A.B.C.D.以上都不对
8.函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为()
A.B.C.2D.4
9.设函数为奇函数,,则
A.B.1C.D.5
10.已知是周期为的周期函数,那么是()
A.周期为的周期函数B.周期为的周期函数
C.周期为的周期函数D.不是周期函数
11.设函数是上以3为周期的奇函数,若,则()
A.B.且C.且D.
12.设函数在上单调递增,则与的大小关系是
A.B.C.D不能确定
13若在内内单调递减,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
14.已知函数满足:
,则
。
15.若函数是增函数,则的取值范围是()
A.B.C. D.
(二)综合大题:
1.(分式函数型)已知函数
(Ⅰ)当时求函数的最小值;
(Ⅱ)若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
2.(三次函数型)(14分)设函数的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数.若函数满足下列条件:
①;②对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)求证:
.
3.(对数函数+一次函数型)(本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)求函数的极值点;
(Ⅱ)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:
.
4.(14分)已知()
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明:
(,,其中无理数).
5.设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若无零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,求证:
.
6.(对数+二次函数型)(本题满分14分)设函数,其中为常数。
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)证明:
对任意不小于的正整数,不等式都成立。
7.(14分)已知函数,,
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)设()有两个极值点、(),
求实数的取值范围,并证明:
.
8.(对数+分式型)(本题满分14分)已知函数.
(1)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(2)若函数在上的最小值为3,求实数的值.
9.已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
⑴求实数的值;
⑵若,且对任意恒成立,求的最大值。
10.(对数+对勾型)(本题14分)已知函数R,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根,求的值.
11.(乘积型)(本小题满分14分)已知函数,在点处的切线方程是(为自然对数的底)。
(1)求实数的值及的解析式;
(2)若是正数,设,求的最小值;
(3)若关于的不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
12.(三次函数+对数函数型)设命题:
函数在区间上单调递减;命题:
函数的值域是.如果命题为真命题,为假命题,求的取值范围.
13.已知函数,直线与的图象相切.
(1)求实数a的值;
(2)若方程上有且仅有两个解;
①求实数b的取值范围;②比较的大小.
14.(抽象函数型)(14分)已知是定义在区间上的奇函数,且,若,时,有。
(1)解不等式;
(2)若对所有、恒成立。
求实数的取值范围。
参答
(一)
(二)综合大题:
1.(分式型)已知函数
(Ⅰ)当时求函数的最小值;
(Ⅱ)若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
解:
(Ⅰ)当a=时,f(x)==x+,x∈[1,+∞)
∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴当x=1时f(x)的最小值为.
(Ⅱ)当任意x∈[1,+∞)时,函数f(x)=>0恒成立不等式x2+2x+a>0对x∈[1,+∞)恒成立。
由x2+2x+a>0,得a>-x2-2x,
令g(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1,则g(x)在[1,+∞)上递减,
∴当x=1是g(x)最大=-3,因此,a>-3
2.(三次型)(14分)设函数的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数.若函数满足下列条件:
①;②对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)求证:
.
(Ⅰ)解:
由已知得:
.……………1分
由为偶函数,得为偶函数,
显然有.…2分又,所以,即.……3分
又因为对一切实数恒成立,
即对一切实数,不等式恒成立.…………4分
显然,当时,不符合题意.…………5分
当时,应满足注意到,解得.…7分所以.……8分
(Ⅱ)证明:
因为,所以.………9分
要证不等式成立,
即证.…………10分
因为,………12分
所以.
所以成立.……………14分
3.(对数函数+一次函数型)(本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)求函数的极值点;
(Ⅱ)当p>0时,若对任意的x>0,恒有,求p的取值范围;
(Ⅲ)证明:
.
解:
(1),
…………2分
当上无极值点…………3分
当p>0时,令的变化情况如下表:
x
(0,)
+
0
-
↗
极大值
↘
从上表可以看出:
当p>0时,有唯一的极大值点……………7分
(Ⅱ)当p>0时在处取得极大值,此极大值也是最大值,
要使恒成立,只需,∴
∴p的取值范围为[1,+∞…………………10分
(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,
∴,
∴…………11分
∴
…………12分
∴结论成立…………………14分
(含参单调性讨论)14分)已知()
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明:
(,,其中无理数).
21、【解】(Ⅰ)
当时,由得
∴在单调递增,在单调递减。
当且的判别式,即时,对恒成立。
∴在上单调递减。
当时,由得:
解得:
由可得:
或
∴在上单调递增,在上单调递减。
综上所述:
当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在上单调递增,
在上单调递减;
当时,在上单调递减。
(Ⅱ)由(Ⅰ)当时,在上单调递减。
当时
∴,即
∴
设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若无零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,求证:
.
20.(本题满分14分)
解:
方法一在区间上,.……………………1分
(1)当时,,则切线方程为,即…………3分
(2)①若,则,是区间上的增函数,
,
函数在区间有唯一零点.…………6分
②若,有唯一零点.…………7分
③若,令得:
.
在区间上,,函数是增函数;
在区间上,,函数是减函数;
故在区间上,的极大值为.
由即,解得:
.
故所求实数a的取值范围是.…………9分
方法二、函数无零点方程即在上无实数解…………4分
令,则
由即得:
…………6分
在区间上,,函数是增函数;
在区间上,,函数是减函数;
故在区间上,的极大值为.…………7分
注意到时,;时;时,
故方程在上无实数解.
即所求实数a的取值范围是.…………9分
[注:
解法二只说明了的值域是,但并没有证明.
(3)设
原不等式
令,则,于是.…………12分
设函数,
求导得:
故函数是上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式成立.……………………14分
4.(对数+二次函数型)(本题满分14分)设函数,其中为常数。
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)证明:
对任意不小于的正整数,不等式都成立。
解:
(1)当时,函数,
此时有惟一极小值点,………3分
则当时,,所以在上为减函数,
当时,
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