中考数学第20讲锐角三角函数复习教案新版北师大版.docx
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中考数学第20讲锐角三角函数复习教案新版北师大版
课时课题:
第20讲锐角三角函数
课型:
复习课
教学目标
1.掌握三种三角函数值的意义,会求直角三角形中锐角三角函数值.
2.熟记特殊角的三角函数值,并能灵活应用.
3.掌握坡度、仰角、俯角、方位角等概念,并能构造直角三角形解决实际问题.
教学重点与难点
重点:
先构造直角三角形,再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题.
难点:
把实际问题转化为解直角三角形的数学问题.
教法与学法指导
教法:
创设问题情境,以学生感兴趣的,并容易回答的问题展开教学,让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后,带着成功的喜悦进入复习.启发性原则是永恒的,所以在复习展开过程中,让学生在教师的启发下成为课堂上行为的主体.
学法:
由于学生都渴望与他人交流,合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量,增强集体意识,所以本课采用小组合作的学习方式,让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——总结”的主线进行学习.
课前准备:
教师准备:
多媒体课件.
学生准备:
学生梳理有关三角函数的内容,复习课本九下第一章.
教学过程:
一、情感交流,激志导入
师:
上节课复习的勾股定理,同学们表现的都很棒!
夯实基础是成功的基础!
让我们继续来复习《解直角三角形》考点2三角函数.(教师板书课题:
第六讲考点2三角函数)
(学生精神饱满,情绪高涨.)
师:
三角函数这部分内容是中考数学试题命题的重要组成部分,这部分知识主要反映在九年级下册第一章,在我们中考当中所占的比例也是很重的,今天就来系统复习三角函数.
设计意图:
通过情感交流入复习课,调动学生学习的积极性;更快的让学生进入角色,为本节复习课奠定基础.
二、知识梳理,夯实基础
基础知识之自我回顾
师:
我们提前一天布置同学们对本章知识进行复习整理,本课进行成果展示,比一比,谁更优秀.
(实物投影学生整理的三角函数相关的知识.)
学生主要从以下方面整理:
设计意图:
提前告知学生本节课要求,让其早作准备,让学生“有备而来”,有利于提高复习效果.让学生以比赛选手身份展示自己复习成果——本节课复习效果.有效地明确其身份——你是本课的主人,一定要参与其中,为提高课堂效益打下基础.
基础知识之基础演练
师:
观看投影,迅速完成以下题目.
1.计算:
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2BC,那么tanA的值是()
A、B、2C、D、
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=,则∠A的那值是()
A、90°B、60°C、45°D、30°
【学生依次回答】
生1:
.
生2:
根据题意画出图形,tanA的值是,答案选择:
A.
生3:
根据题意画出图形,由已知条件可以算出cosA的值是,根据特殊角的三角函数值,答案选择:
D.
师:
这三道题目考察了锐角三角函数的概念以及特殊角的三角函数值,对于第一小题要求同学们不要以为这种题目简单而过于轻敌,每年中考中有相当多的同学因为记错数值而造成失分,处理这种题目时可以仔细想一想特殊值表的规律.第2、3两题刚才两位同学处理的非常好,结合图像来看一目了然,数形结合法是解决三角函数相关题目的常用方法.
设计意图:
三道简单题拉开复习的序幕,试题覆盖本章最基本知识——特殊角三角函数值、三角函数定义.难度很小,正确率可大大提升,让学生自信地复习下去.
基础知识之灵活运用
1.△ABC中,a=3,b=5,c=4,则sinA的值是()
A、B、C、D、
2.在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠B=40°,则BC边长为()
A、msin40°B、mcos40°C、mtan40°D、
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinB的值为()
A、B、C、D、
4..
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,若tanB=cos∠DAC,
(1)AC与BD相等吗?
说明理由;
(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.
(学生小组合作完成,交流体会)
【学生依次回答】
生4:
sinA==.
生5:
不对,本题中b是斜边,所以sinA==.
师:
在我们之前处理的题目中相当多的是以∠C为直角的,很多同学会先入为主,这道题目要提醒了我们审题一定要仔细.
生6:
第2题选择:
B.
生7:
第3题可以采用特殊值法,做出图形可以令BC=1,AC=3,可以得到AB=,所以sinB的值为,故选D.
(第4、5题两学生板演在黑板上.)
生8:
.
生9:
(1)∵tanB=cos∠DAC,∴.∴BD=AC.
(2)∵sinC=,∴可设AD=12k,AC=13k,则CD=5k.∵BD=AC,∴BC=18k=12.∴k=.∴AD=12k=8.
师:
第4题综合考查了完全平方公式、的化简、特殊角的三角函数值.在去掉绝对值时部分同学会写成cos30°-1,忽视了锐角的余弦小于1,cos30°-1是负数.
第5题的第2问,不能用特殊值法,我们可以设未知数,这位同学处理的非常好.
设计意图:
这5道题的设置,不难不易,具有典型性、示范性,再次检查学生掌握基本知识情况.其中不乏有陷阱题,看学生审题习惯如何,不错最好,错了不是坏事,其他同学的纠正,教师点评有助于其加深印象.
四、热点跟踪,难点突破
师:
有关三角函数的中考题常常结合实际问题来考查,下面我们来看一下几种常见题型.
难点突破之思维激活
(出示习题,学生分析、板演、纠错,教师点评)
(一)以仰角、俯角为背景
共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式.
如图,从热气球C上测得两建物A,B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为90米,且点A,D,B在同一直线上,求建筑物A,B间的距离.
【师生共析】要求AB的距离,反映在图形中是AD、BD的和,在两个直角三角形中分别求出即可.
【学生板演】解:
由题意可知∠A=30°,∠B=60°.
在△ABC中,tanA=,
∴AD==(米).
同理BD=米.
∴AB=AD+BD=(米).
师(点评):
根据题目的条件找出需要的角的度数是解决本题的关键所在.
变式训练(2012•贵阳)小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差.如图,他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°,再沿BC方向走80m到达D处,测得∠ADC=34°,求落差AB.(测角仪高度忽略不计,结果精确到1m)
【附答案】
解:
∵ACB=68°,∠D=34°,∠ACB是△ACD的外角,
∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°.
∴∠CAD=∠D.
∴AC=CD=80.
在Rt△ABC中,AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74(m).
答:
落差AB为74m.
(二)以坡度坡角为背景
(2012﹒内江)水利部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示,已知迎水坡面AB的长为16米,∠B=60°,背水坡面CD的长为米,加固后大坝的横截面积为梯形ABED,CE的长为8米.
(1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米?
(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.
【考点分析】本题考查梯形的常见辅助线添法,梯形、三角形的面积公式,以及坡度的定义,要求较强的转化、计算能力.
【师生共同分析】
(1)分别过A、D做下底的两条高线,AM、DN,在Rt△ABM中,已知坡面长和破角的度数,可以求出高AM的长度,也就得到了DN的长度,以CE为底,DN为高即可以求出S△CDE,再乘以大坝的长度,即为所需的填土石方体积.
(2)在Rt△DCN中可求CN长,在Rt△DNE中根据DN、EN的长度就可以求出坡角的正切值,即坡面DE的坡度.
【学生板书】
解:
(1)作AM⊥BC于,作DN⊥BC于,
∵Rt△ABM中AB=16米,∠B=60°,
∴AM=ABsinB=16sin60°=(米).
∵CE=8米,
∴S△CDE=CE·AM==(米2).
∵需加固的大坝长为150米,
∴需要填土石方为V=150S△CDE=米3.
(2)∵Rt△DCN中,DN=AM=,CD=,
∴∠DCN=30°,CN=24.
∴,NE=NC+CE=24+8=32米
∴Rt△DNE中,.
∴加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.
(三)以方位辨识为背景
(2012﹒广安)如图,2012年4月10日,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏东60o方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时,C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?
(≈1.41,≈1.73,≈2.45)
【考点分析】解直角三角形的应用(方向角问题),等腰直角三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值.
【师生共析】过点A作AD⊥BC的延长线于点D,则△ACD是等腰直角三角形,根据AC=10海里可求出AD即CD的长,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长,从而可得出BC的长,再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行,国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间,从而得出结论.
【解答】
解:
过点A作AD⊥BC的延长线于点D,
∵∠CAD=45°,AC=10,
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴AD=CD=,
在Rt△ABD中,∵∠DAB=60°,
∴BD=AD•tan60°=.
∴BC=BD﹣CD=.
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行,
∴海监船到达C点所用的时间(小时);
某国军舰到达C点所用的时间(小时).
∵<0.4,
∴中国海监船能及时赶到.
设计意图:
数形结合思想的正确使用一直是学生的难点,正因为是难点,才需多练.错误不可怕,本来教者就已估计有不少同学出错,反正有同学纠错、老师点评,全体同学都有收益.课堂上太顺了,有时不是好事.
难点突破之聚焦中考
(2012﹒潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:
先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:
=1.73,=1.41);
(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?
说明理由.
【师生共析】
师:
要求AB长,可以怎么转化?
生:
由题意可知△ABC为等腰三角形,AB长即为BC的长.
师:
要判断是否超速,用哪两个量进行比较?
生:
利用AB的长度除以所用的时间可以的道小车的速度,转换成千米/小时,与40进行比较即可.
【学生板书】
解:
(1)由题意得,在Rt△ADC中,
AD===21=36.33,
在Rt△BDC中,BD====12.11,
所以AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米).
(2)校车从A到B用时2秒,所以速度为24.2÷2=12.1(米/秒),
因为12.1×3600=43560,
所以该车速度为43.56千米/小时,大于40千米/小时,
所以此校车在AB路段超速.
设计意图:
本题接近学生实际生活,设计新颖,考查解直角三角形的实际应用.同时,充分体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用,是中考命题的热点,中考题并不可怕,师生互动后也能顺利解决,让学生产生“不过如此”的感觉
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- 中考 数学 20 锐角三角 函数 复习 教案 新版 北师大