《复变函数与积分变换》习题册.docx
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《复变函数与积分变换》习题册
第一章复数与复变函数
本章知识点和基本要求
掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算;熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式;了解区域的概念;理解复变函数的概念;理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题
1、若等式i(5-7i)=(x+i)(y-i)成立,则x=,y=.
2、设(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i,则x=,y=
12+3i
3、若z=-,则z=
i1-i
4、若z=(3+i)(2-5i),则Rez=
2i
2+i
5、若z=i4-2+i,则z=
1+i
6、设z=(2+i)(-2+i),则argz=
7复数z=1-i的三角表示式为,指数表示式
为。
8、复数z=-12-2i的三角表示式为,指数表示式为
9、设z1=2i,z2=1-i,则Arg(z1z2)=_.
10、设z=2e4,则Rez=.Im(z)=。
z=
11、.方程z3+27=0的根为.
12、一曲线的复数方程是z-i=2,则此曲线的直角坐标方程
为。
13、方程Im(i-z)=3表示的曲线是.
z-2
14、复变函数w=z-2的实部u(x,y)=,虚部v(x,y)=.
z+1
15、不等式z-1+z+14所表示的区域是曲线的内部。
16、31=
二、判断题(正确打√,错误打)
1、复数7+6i1+3i.
(
)
2、若z为纯虚数,则zz.
(
)
3、若a为实常数,则a=a
(
)
4、复数0的辐角为0.
5、f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在
(x0,y0)点连续。
(
)
6、设z1,z2为复数,则z1z2=z1z2。
(
)
7、z1+z2=z1+z2
(
)
8、参数方程z=t2+ti(t为实参数)所表示的曲线是抛物线y=x2.
(
)
三、单项选择题
1、下列等式中,对任意复数z都成立的等式是
(
)
A.z·z=Re(z·z)
B.z·z
=Im(z·z)
C.z·z=arg(z·z)
D.
z·z=|z|
2、方程z3=8的复根的个数为()
A.3个B.1个C.2个
D.
0个
3、当z=1+i时,z100+z75+z50的值等于(
1-i
)
AiB-iC1
D
-1
4、方程z+2-3i=2所代表的曲线是(
)
A中心为2-3i,半径为2的圆周
B中心为-2+3i,半径为2的圆周
C中心为-2+3i,半径为2的圆周
D中心为2-3i,半径为2的圆周
四、计算题
1.求出复数z=(-1+i3)4的模和辐角。
2.设z=x+iy满足Re(z2+3)=4,求x与y的关系式
3、将复数z=12-6i化为三角表示式和指数表示式。
4、求复数1-cosj+isinj,(0#jp)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。
5.将直线方程2x+3y=1化为复数形式。
6、求以下根式的值:
(1)
(3)41
-2+2i
(2)3i
第二章解析函数
本章知识点和基本要求
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念;
掌握复变函数解析的C-R条件,并能利用C-R条件判断复变函数的可导性
和解析性;
掌握解析函数的基本性质;
了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。
一、填空题
1、Ln(1+i)的主值为
2、Ln(-i)=,主值为
3、设ez=-3+4i,则Re(iz)=
4、3i=.
5、(1+i)i=.
6、i1+i=
7、指数函数ez的周期是
8、设f(z)=(1-z)e-z,则f(z)=
9、设f(z)=x3+y3+ix2y2,则f(1+i)=
10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析,则f¢(i)=
11、.函数f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续是f(z)在该点解析的条件。
二、判断题(正确打√,错误打)
(x0,y0)可微。
6、
设函数f(z)在点z0处可导,则f(z)在点z0处解析。
对于任意的复数z,z,等式Ln(z.z)=Lnz+Lnz恒成立。
对于任意的复数z,整数n,等式Lnzn=nLnz恒成立
三、单项选择题
5、在复平面上,下列关于正弦函数sinz的命题中,错误的是()
四、计算题
判断下列函数在何处可导,在何处解析?
(1)f(z)=2x3+3y3i
(2)f(z)=(x-y)2+2(x+y)i
(3)f(z)=xy2+ix2y
第三章复变函数的积分
本章知识点和基本要求
了解复变函数积分的定义及性质;会求复变函数的积分;理解柯西积分定理,掌握柯西积分公式;0掌握解析函数的高阶导数公式;了解解析函数无限次可导的性质;会综合利用各定理计算闭路积分。
一、填空题
2、设C为从点z1=-i到点z2=0的直线段,则zdz=.
3、若C为正向圆周z=2,则Ñ1dz=.
4、若f()=Ñ2z+z+1dz,2,则f(3+5i)=_____,f
(1)=.
z=2z-
f
(1)=
z
5、Ñedz(c:
z=4)的值是
二、单项选择题
1、若f(z)在D内解析,(z)为f(z)的一个原函数,则()
三、计算题
1、沿下列路径计算积分zdz
(1)从原点到3+i的直线段
(2)从原点沿实轴到3,再从3垂直向上到3+i。
2、沿下列路径计算积分z2dz
(1)从原点到1+i的直线段
(2)从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到1+i。
3、计算coszdz。
4、计算积分(2z-3)dz.
5、(x-y+ix2)dz,其中C是从点0到1+i的直线段。
C
6、设C为从-2到2的上半圆周,计算积分2z-3dz的值。
7、Ñ1dz,C为正向圆周z=2
8、计算积分Ñdz,其中C为圆周Z=3,且取正向。
9、计算Ñ2z+1+2idz,其中C为正向圆周z=3.
10、求下列积分之值(积分沿闭曲线的正向)
(1)Ñcz(zz--12)dz,z=3
(2)
第七章傅里叶变换本章知识点和基本要求掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式;理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念;了解函数的概念、性质及其傅氏变换,了解傅氏变换的物理意义;掌握傅氏变换的性质,熟悉常用傅氏变换对。
一、填空题
ì0,t<0
1、设f(t)=ïí-5t,则F[f(t)]=
ïîïe-5t,t³0
0,t0
2、设f(t)=0-,tt0,则F[f(t)]=
e-t,t0
3、F[1]=
4、设F[f(t)]=1,则f(t)=;
+i
5、设f(t)=sin2t,则F[f(t)]=;
6、设F[f(t)]=F(w),则F[(t+5)f(t)]=;
7、设F[f(t)]=F(),t0为实常数,则F[f(t-t0)]=;
8、F[(t-t0)]=;
9、设F[f(t)]=F(w),则f(1-t)的傅氏变换F[f(1-t)]=;
10、F[f(t)]=F(),则F[tf()d]=
-22
11、已知f(t)=t,且F[f(t)]=-22,则F-1[-22]=
(-2)
2、
设F[f(t)]=F(),则F[(t-1)f(t)]为
(t-t0)的傅里叶变换F(t-t0)为
4、
设F[f(t)]=F(),则F[(2t-3)f(t)]=
5、
设F[f(t)]=F(),则F[(t-2)f(t)]=
6、
设f(t)=cos0t,则F[f(t)]=(
1、已知函数f(t)=12,,0-1tt20,求它的傅里叶变换。
0,2t+
ïì-2,-1 2、求函数f(t)=ïí2,0 3、求函数f(t)=0,t0(其中0)的傅氏变换及其积分表达式。 4、求函数 sintt f(t)=sintt的傅氏变换,0t 并证明0+sin1-si2ntd=2s0i,ntt,t 5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换 (1)F(w)=[d(+w0)-d(-w0)] pww (2)F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)] 6、用傅里叶变换求解下面的微分方程 x(t)+x(t)=(t),-t+ 7、设F[f(t)]=F(),列表给出下列函数的付里叶变换: f'(t),f"(t),tf(t),tf(t),f(t-t0),f(t+t0),tf()d,f(at)- 0,t0 1,(t),(t-t0),(t+t0),f(t)=-t 00e-t,t0 并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。 第八章拉普拉斯变换 本章知识点和基本要求 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念; 了解拉普拉斯变换存在定理; 掌握拉普拉斯变换的性质; 掌握用留数求拉氏逆变换的方法; 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理; 应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。 一、填空题 1、 设F(S)= 1 S2 ,则L-1[e-SF(S)]= 5、L[etcost]= 2 6、设L[f(t)]=22,则L[e-3tf(t)]= s2+4 7、设f(t)=(t-1)2et,L[f(t)]= 8、设F(s)=212,则L-1[F(s)]= (s2+1)2 9、设L[f1(t)]=F1(S),F[f2(t)]=F2(S),则L[f1(t)*f2(t)]=s+2 10、设F(s)=s+2,则L-1[F(s)]= s2+16 二、单项选择题 1、下列变换中,不正确的是() A.F[(t)]=1B.L[(t)]=1 C.L[1]=(t)D.F[1]=2() 2、设L[f(t)]=F(s),其中正确的是() 3、f(t)=teat(a0)的拉氏变换为() A. 1 S-a B.-1 s-a C.(s-1a)2 D. -1 (s-a)2 D.u(t-1)sin(t-1) )
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- 复变函数与积分变换 函数 积分 变换 习题