放缩法在不等式的应用Word下载.docx
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求证:
对所有正整数n都成立。
例6设数列满足(Ⅰ)证明对一切正整数成立;
(Ⅱ)令,判定与的大小,(04年重庆卷理科第(22)题)
四.利用重要不等式放缩
1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。
例7设求证
例8已知为正数,且,试证:
对每一个,.(88年全国联赛题)
2.利用有用结论
例9求证
例10已知函数
对任意且恒成立。
(90年全国卷压轴题)
例11已知用数学归纳法证明;
对对都成立,证明(无理数)(05年辽宁卷第22题)
例12已知不等式表示不超过的最大整数。
设正数数列满足:
求证(05年湖北卷第(22)题)
例13设,求证:
数列单调递增且
例14设数列满足,当时证明对所有有;
(02年全国高考题)
五利用单调性放缩
1、构造数列如对上述例7,令则,
递减,有,故
再如例9,令则,即递增,有,得证!
2.构造函数例15已知函数的最大值不大于,又当时(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,证明(04年辽宁卷第21题)
例16数列由下列条件确定:
,.(I)证明:
对总有;
(II)证明:
对总有(02年北京卷第(19)题)
六换元放缩例17求证
例18设,,求证.
七递推放缩递推放缩的典型例子,可参考上述例14中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明,同理例11中所得和、例12中、例13(Ⅰ)之法2所得都是进行递推放缩的关键式。
八分项讨论
例19已知数列的前项和满足
(Ⅰ)写出数列的前3项;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:
对任意的整数,有(04年全国卷Ⅲ)
详细解析过程
例1.证明:
由题设得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b,又a+b>0,得a+b>1,又ab<(a+b)2,而(a+b)2=a+b+ab<a+b+(a+b)2,即(a+b)2<a+b,所以a+b<,故有1<a+b<。
例2.证明:
因为
,
同理,。
所以
例3.证明:
由于a、b、c为正数,所以,,,所以,又a,b,c为三角形的边,故b+c>a,则为真分数,则,
同理,,
故.
综合得。
例4.证明:
因为,
则…………
,证毕。
例5.证明:
因为,所以,
又,
所以,综合知结论成立。
例6简析本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
法1用数学归纳法(只考虑第二步);
法2
则.
例7解析此数列的通项为
,,
即
注:
应注意把握放缩的“度”:
上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例8简析由得,又,故,而,
令,则=,因为,倒序相加得=,
而,则=,所以,即对每一个,.
例9简析本题可以利用的有用结论主要有:
法1利用假分数的一个性质可得
法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得
例9是1985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题;
进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
如理科题的主干是:
证明(可考虑用贝努利不等式的特例)
例10简析本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;
这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:
而由不等式得
(时取等号)
(),得证!
例11解析结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:
于是,
即
注:
题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;
当然,本题还可用结论来放缩:
,
例12简析当时,即
于是当时有
本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;
但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩;
引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的学习能力与创新意识。
例13解析引入一个结论:
若则(证略)
整理上式得()
以代入()式得
即单调递增。
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
上述数列的极限存在,为无理数;
同时是下述试题的背景:
已知是正整数,且
(1)证明;
(2)证明(01年全国卷理科第20题)
简析对第
(2)问:
用代替得数列是递减数列;
借鉴此结论可有如下简捷证法:
数列递减,且故即。
例14解析用数学归纳法:
当时显然成立,假设当时成立即,则当时,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
;
证明就直接使用了部分放缩的结论
例15解析(Ⅰ)=1;
(Ⅱ)由得
且用数学归纳法(只看第二步):
在是增函数,则得
例16
解析构造函数易知在是增函数。
当时在递增故
对(II)有,构造函数它在上是增函数,故有,得证。
例17简析令,这里则有
,从而有
通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例18简析令,则,,应用二项式定理进行部分放缩有
,注意到,则(证明从略),因此
例19简析(Ⅰ)略,(Ⅱ);
(Ⅲ)由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),于是
当且为偶数时
当且为奇数时(添项放缩)由知由得证。
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- 放缩法 不等式 应用