高考一轮复习数学教案96空间向量及其运算B.docx
- 文档编号:1463552
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:33.92KB
高考一轮复习数学教案96空间向量及其运算B.docx
《高考一轮复习数学教案96空间向量及其运算B.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考一轮复习数学教案96空间向量及其运算B.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考一轮复习数学教案96空间向量及其运算B
2013年2014年高考第一轮复习数学教案集
9.6空间向量及其运算(B
知识梳理
空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量,即平行四边形法则及三角形法则.a·b=|a||b|cos〈a,b〉.a2=|a|2.
a与
b不共线,那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y,使p=xa+yb.a、b、
c不共面,空间的任一向量p,存在实数x、y、z,使p=xa+yb+zc.点击双基
1.在以下四个式子中正确的有a+b·c,a·(b·c,a(b·c,|a·b|=|a||b|A.1个B.2个C.3个D.0个
解析:
根据数量积的定义,b·c是一个实数,a+b·c无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c错,|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|,只有a(b·c正确.
答案:
A
2.设向量a、b、c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c}
解析:
由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.
答案:
C
3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,向量BA'、DA'、是A.有相同起点的向量
B.等长的向量
C.共面向量
D.不共面向量
解析:
∵DA-BA=DB'=BD,∴BA'、DA'、共面.
答案:
C
4.已知a=(1,0,b=(m,m(m>0,则〈a,b〉=_____________.答案:
45°
5.已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F,则=_____________.
解析:
∵=++,又EF=EC+CD+DF,
两式相加,得2EF=(EA+EC+(AB+CD+(BF+DF.∵E是AC的中点,
故EA+EC=0.同理,BF+DF=0.
∴2EF=AB+CD=(a-2c+(5a+6b-8c=6a+6b-10c.∴EF=3a+3b-5c.答案:
3a+3b-5c●典例剖析
【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:
对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.
剖析:
要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.
解:
依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:
四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1(OC-
OB+y1(OD-OB=(1-x1-y1OB+x1OC+y1OD,取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,
则有OA=xOB+yOC+zOD,且x+y+z=1.
特别提示
向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线面向量基本定理给出了向量共(线面的充要条件,可用以证明点共(线面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用.
【例2】在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.
解:
如下图,因为∠ACD=90°,
A
C
B
D
D
(1(2
所以AC·CD=0.同理,BA·AC=0.因为AB与CD成60°角,
所以〈,CD〉=60°或120°.因为=+AC+CD,
所以BD2=BA2+AC2+CD2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=BA2+AC2+
2
+2·=3+2×1×1×cos〈,〉=
4(〈,CD〉=60°,2(〈BA,〉=120°.
所以|BD|=2或2,即B、D间的距离为2或2.
【例3】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,BD1交平面ACB1于点E,
AA
DD
BB
CC
1
1
1
1
E
M
求证:
(1BD1⊥平面ACB1;(2BE=
2
1
ED1.证明:
(1我们先证明BD1⊥AC.
∵1BD=BC+CD+1DD,AC=AB+BC,
∴1BD·AC=(BC+CD+1DD·(AB+BC=BC·BC+CD·AB=BC·BC-AB·AB=|BC|2-|AB|2=1-1=0.
∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1.(2设底面正方形的对角线AC、BD交于点M,则BM=
21BD=2
1
11DB,即2BM=11DB.对于空间任意一点O,设OB=b,OM=m,1OB=b1,1OD=d1,则上述等式
可改写成2(m-b=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记
2121++mb=2
121++b
d=
e.此即表明,由e向量所
对应的点E分线段B1M及D1B各成λ(λ=2之比,所以点E既在线段B1M(B1M⊂面ACB1
上又在线段D1B上,所以点E是D1B与平面ACB1之交点,此交点E将D1B分成2与1之比,即D1E∶EB=2∶1.∴BE=
2
1
ED1.思考讨论
利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.
●闯关训练夯实基础
1.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若11BA=a,11DA=b,AA1=
c,则下列式子中与B1相等的是
1
A.-
21a+21
b+c
B.
21a+21b+cC.21a-2
1
b+c
D.-21a-2
1
b+c
解析:
MB1=BB1+BM=BB1+21(BA+BC=AA1-2111BA+
2
1
11DA=c-21a+2
1
b,故选A.答案:
A
2.O、A、B、C为空间四个点,又OA、OB、OC为空间的一个基底,则A.O、A、B、C四点不共线
B.O、A、B、C四点共面,但不共线
C.O、A、B、C四点中任意三点不共线
D.O、A、B、C四点不共面
解析:
由基底意义,、、三个向量不共面,但A、B、C三种情形都有可能使、、共面.只有D才能使这三个向量不共面,故应选D.
答案:
D
3.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=_____________.解析:
由条件知(a+3b·(7a-5b=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,及(a-4b·(7a-2b=
7|a|2+8|b|2-30a·b=0.两式相减得46a·b=23|b|2,∴a·b=
2
1|b|2
.代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|.∴cos〈a,b〉=||||baba⋅=22||21||
bb=2
1
.
∴〈a,b〉=60°.
答案:
60°
4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.
已知:
如下图,PO、PA分别是平面α的垂线和斜线,OA是
PA在α内的射影,aα,
求证:
a⊥PA⇔a⊥OA.
证明:
设直线a上非零向量a,要证a⊥PA⇔a⊥OA,即证a·=0⇔a·=0.∵a
α,a·=0,∴a·=a·(+=a·+a·=a·.
∴a·=0⇔a·=0,即a⊥PA⇔a⊥OA.
评述:
向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中,常需要通过加、减法对向量进行转换,当然,转换的方向是有利于计算向量的数量积.
5.直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求证:
AB1=A1C
.
A1
证明:
∵CA1=((,,11111111111CCBCCCCABCCACCBCCCCA+⋅+=⋅++=11CA·
021=-CC
∴AB=AC.又A1A=B1B,∴A1C=AB1.
评述:
本题在利用空间向量来解决位置关系问题时,要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.
培养能力
6.沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.
A
解:
用a、b、c分别代表棱、、上的三个单位向量,则f1=a,f2=2b,f3=3c,则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,
∴|f|2=(a+2b+3c·(a+2b+3c=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a·b+6a·c+12b·c=1+4+9+4|a||b|cos〈a,b〉
+6|a||c|cos〈a,c〉+12|b||c|cos〈b,c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.
∴|f|=5,即所求合力的大小为5,
f×a|a|2+2a×b+3a×c且cos〈f,a〉===|f|||a5同理,可得cos〈f,b〉=1+1+32=7.51049,cos〈f,c〉=.5107.在空间四边形ABCD中,求证:
AB·CD+AC·DB+AD·BC=0.证法一:
把AB拆成AC+CB后重组,AB·CD+AC·DB+AD·BC=(AC+CB)CD+AC·DB+AD·BC=AC·CD+CB·CD+AC·DB+AD·BC=AC··(CD+DB)+CB·CD+DA)=AC·CB+CB·CA=CB·AC+CA)=CB·0=0.((证法二:
如下图,设a=DA,b=DB,c=DC,则AB·CD+AC·DB+AD·BC=(b-a)(-c)+(c-a)··b+(-a)(c-b)=-b·c+a·c+c·b-a·b-a·c+a·b=0.·ADCB评述:
把平面向量的运算推广到空间后,许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了向量的拆分重组技巧,要求较高;证法二设定三个向量为基底,而原式中所有向量化归为关于a、b、c的式子,化简时的思路方向较清楚.探究创新8.(2004年全国Ⅰ,理20)如下图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 一轮 复习 数学教案 96 空间 向量 及其 运算