文科一轮学案84空间中的平行关系.docx
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文科一轮学案84空间中的平行关系
学案8.4空间中的平行关系
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平行直线
平行公理:
过直线外一点一条直线和已知直线平行.
基本性质4:
平行于同一条直线的两条直线.
等角定理:
如果一个角的两边与另一个角的两边分别,并且,那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
结论
a∥α
b∥α
3.平面与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β,a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )
(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1
如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
变式训练:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,AB=1,求证:
CE∥平面PAB.
考点二平面与平面平行的判定与性质
例3
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
变式训练:
如图,在三棱锥S—ABC中,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F.点E,G分别是棱SA、SC的中点.求证:
平面EFG∥平面ABC.
考点三:
平行关系的综合应用
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,如图.
(1)求证:
平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.
变式训练:
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=
a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.
当堂达标:
1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
2.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
3.(教材改编)下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
4.(教材改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.
5.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
巩固提高案日积月累提高自我
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面
2.(2015·安徽)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
6.在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
7.
如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=______.
8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,动点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
9.
如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
10.
如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
学案8.4空间中的平行关系
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平行直线
平行公理:
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
基本性质4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理:
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α=∅
a⊂α,b⊄α,a∥b
a∥α
a∥α,a⊂β,α∩β=b
结论
a∥α
b∥α
a∩α=∅
a∥b
3.平面与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β=∅
a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
α∥β,a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × )
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( × )
(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( × )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1
如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
证明
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=
AD,
∴BC綊AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 (2014·安徽)
如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2
.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:
GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
(1)证明 因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)解
如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD,
且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=
DB=
OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=
PO,
即G是PB的中点,且GH=
BC=4.
由已知可得OB=4
,
PO=
=
=6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积
S=
·GK=
×3=18.
变式训练:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,AB=1,求证:
CE∥平面PAB.
证明 由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2
.
如图所示,延长DC,AB,设其交于点N,连接PN,
因为∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,
所以C为ND的中点,
又因为E为PD的中点,所以EC∥PN,
因为EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
考点二平面与平面平行的判定与性质
例3
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
证明
如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B,
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明
如图所示,连接A1C交AC1于点M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1,
DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,
∴DC1∥平面A1BD1,
又∵DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
变式训练:
如图,在三棱锥S—ABC中,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F.点E,G分别是棱SA、SC的中点.求证:
平面EFG∥平面ABC.
证明 因为AS=AB,AF⊥SB,
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点,所以EF∥AB,
又EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC,同理EG∥平面ABC,
又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.
考点三:
平行关系的综合应用
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,如图.
(1)求证:
平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.
(1)证明 因为在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
AD綊B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD,
所以AB1∥平面C1BD.
同理,B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)解 如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1,与A1C交于点E.
因为AO1⊂平面AB1D1,
所以点E也在平面AB1D1内,
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于点O,连接C1O,与A1C交于点F,
则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,
平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,
平面AB1D1∥平面C1BD,
所以EO1∥C1F,
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF.
同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即FC=EF,
所以A1E=EF=FC.
变式训练:
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=
a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.
解 如图所示,在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,
连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,
∵EG∥CD∥AF,EG=AF,
∴四边形FEGA为平行四边形,
∴FE∥AG.
又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
∴F即为所求的点.
又PA⊥面ABCD,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,∴BC⊥面PAB.
∴PB⊥BC.
∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.
设PA=x则PC=
,
由PB·BC=BE·PC得:
·a=
·
a,
∴x=a,即PA=a,∴PC=
a.
又CE=
=
a,
∴
=
,∴
=
=
,
即GE=
CD=
a,∴AF=
a.
即AF=
AB.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.
当堂达标:
1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
答案 D
解析 当距离不为零时,l∥α,当距离为零时,l⊂α.
2.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故选C.
3.(教材改编)下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
答案 D
解析 A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.
4.(教材改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.
答案 平行
解析 连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,
则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
5.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案 6
解析 各中点连线如图,只有面EFGH与面ABB1A1平行,在四边形EFGH中有6条符合题意.
巩固提高案日积月累提高自我
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面
答案 D
解析 充分性:
A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
2.(2015·安徽)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
答案 D
解析 对于A,α,β垂直于同一平面,α,β关系不确定,故A错;对于B,m,n平行于同一平面,m,n关系不确定,可平行、相交、异面,故B错;对于C,α,β不平行,但α内能找出平行于β的直线,如α中平行于α,β交线的直线平行于β,故C错;对于D,若假设m,n垂直于同一平面,则m∥n,其逆否命题即为D选项,故D正确.
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
答案 B
解析 l∥α,l∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故A项错;由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确;由l⊥α,l∥β可知α⊥β,故C项错;由α⊥β,l∥α可知l与β可能平行,也可能l⊂β,也可能相交,故D项错.故选B.
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
答案 C
解析 ①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l、m;②中l与m也可能异面;③中
⇒l∥n,同理,l∥m,则m∥n,正确.
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案 B
解析 ①中易知NP∥AA′,MN∥A′B,
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).
④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.
6.在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
答案 平面ABD与平面ABC
解析
如图,取CD的中点E,连接AE,BE.
则EM∶MA=1∶2,
EN∶BN=1∶2,
所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD,
MN∥平面ABC.
7.
如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=______.
答案
a
解析 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴MN∥PQ.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,AP=
,
∴CQ=
,从而DP=DQ=
,∴PQ=
a.
8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,动点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
答案 M∈线段FH
解析 因为HN∥BD,HF∥DD1,所以平面NHF∥平面B1BDD1,故线段FH上任意点M与N相连,都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
9.
如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明
(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,
又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
10.
如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
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- 文科一轮学案84 空间中的平行关系 文科 一轮 84 空间 中的 平行 关系