南京市届高三年级第三次模拟考试及答案.docx
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南京市届高三年级第三次模拟考试及答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学2018.05
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2-4=0},则A∪B=.
2.已知复数z的共轭复数是.若z(2-i)=5,其中i为虚数单位,则的模为.
S←1
I←1
While I<8
S←S+2
I←I+3
EndWhile
PrintS
3.某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了500名学生,他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校平均开销在[50,60]元的学生人数为.
(第4题图)
4.根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为.
5.已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为.
6.若实数x,y满足则的取值范围为.
7.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:
若l⊥α,l⊥β,则α∥β;若l⊥α,α⊥β,则l∥β;
若l∥α,l⊥β,则α⊥β;若l∥α,α⊥β,则l⊥β.
其中真命题为(填所有真命题的序号).
8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为.
9.若等比数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且a1=1,S6=3S3,则a7的值为.
10.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)=则f(a+1)的值为.
11.在平面直角坐标系xOy中,圆M:
x2+y2-6x-4y+8=0与x轴的两个交点分别为A,B,其中A在B的右侧,以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M,圆N分别交于C,D两点.若D为线段AC的中点,则直线l的方程为.
12.在△ABC中,AB=3,AC=2,D为边BC上一点.若·=5,·=-,则·的值为.
13.若正数a,b,c成等差数列,则+的最小值为.
14.已知a,b∈R,e为自然对数的底数.若存在b∈[-3e,-e2],使得函数f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零点,则a的取值范围为.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.
(1)求cos2α的值;
P
(2)求2α-β的值.
x
(第15题图)
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=,其余棱长均为2,M是棱PC上的一点,D,E分别为棱AB,BC的中点.
(1)求证:
平面PBC⊥平面ABC;
(2)若PD∥平面AEM,求PM的长.
17.(本小题满分14分)
如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成,其中AC为2百米,AC⊥BC,∠A为.若在半圆弧,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF,使DE∥AB,DF∥AC.记∠CBD=θ(≤θ<).
(1)试用θ表示BD的长;
(2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)经过点P(,),离心率为.已知过点M(,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问x轴上是否存在定点N,使得·为定值.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=2x3-3ax2+3a-2(a>0),记f'(x)为f(x)的导函数.
(1)若f(x)的极大值为0,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+6x,求g(x)在[0,1]上取到最大值时x的值;
(3)若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[,]上有解,求满足条件的正整数a的集合.
20.(本小题满分16分)
若数列{an}满足:
对于任意n∈N*,an+|an+1-an+2|均为数列{an}中的项,则称数列{an}为“T数列”.
(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n2,n∈N*,求证:
数列{an}为“T数列”;
(2)若公差为d的等差数列{an}为“T数列”,求d的取值范围;
(3)若数列{an}为“T数列”,a1=1,且对于任意n∈N*,均有an<a-a<an+1,求数列{an}的通项公式.
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题2018.05
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知矩阵A=,B=,若直线l:
x-y+2=0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1,求直线l1的方程.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆C经过点P(2,),圆心C为直线sin(θ-)=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且AF=2.
(1)求p的值;
(2)若M,N为抛物线C上异于A的两点,且AM⊥AN.记点M,N到直线y=-2的距离分别为d1,d2,求d1d2的值.
23.(本小题满分10分)
已知fn(x)=Ax(x+1)…(x+i-1),gn(x)=A+x(x+1)…(x+n-1),其中x∈R,n∈N*且n≥2.
(1)若fn
(1)=7gn
(1),求n的值;
(2)对于每一个给定的正整数n,求关于x的方程fn(x)+gn(x)=0所有解的集合.
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.{-3,-2,2}2.3.1504.75.6.[,2]7.①③
8.9.410.211.x+2y-4=012.-313.14.[e,4e]
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
解:
(1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,所以cosα=,……2分
所以cos2α=2cos2α-1=.……4分
(2)因为点Q的纵坐标为,所以sinβ=.……6分
又因为β为锐角,所以cosβ=.……8分
因为cosα=,且α为锐角,所以sinα=,因此sin2α=2sinαcosα=,…10分
所以sin(2α-β)=×-×=.…12分
因为α为锐角,所以0<2α<π.又cos2α>0,所以0<2α<,
又β为锐角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.……14分
16.(本小题满分14分)
(图1)
O
C
B
P
A
C
B
M
D
E
(1)证明:
如图1,连结PE.因为△PBC的边长为2的正三角形,E为BC中点,
所以PE⊥BC,……2分
且PE=,同理AE=.
因为PA=,所以PE2+AE2=PA2,所以PE⊥AE.……4分
因为PE⊥BC,PE⊥AE,BC∩AE=E,AE,BC平面ABC,
所以PE⊥平面ABC.
因为PE平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.……7分
(2)解法一
如图1,连接CD交AE于O,连接OM.
因为PD∥平面AEM,PD平面PDC,平面AEM∩平面PDC=OM,
所以PD∥OM,…………9分
所以=.…………11分
因为D,E分别为AB,BC的中点,CD∩AE=O,所以O为ABC重心,所以=,
所以PM=PC=.………14分
解法二
如图2,取BE的中点N,连接PN.
因为D,N分别为AB,BE的中点,
所以DN∥AE.
又DN平面AEM,AE平面AEM,
所以DN∥平面AEM.
又因为PD∥平面AEM,DN平面PDN,PD平面PDN,DN∩PD=D,
所以平面PDN∥平面AEM.………………………………9分
又因为平面AEM∩平面PBC=ME,平面PDN∩平面PBC=PN,
所以ME∥PN,所以=.………………………………11分
因为E,N分别为BC,BE的中点,所以=,所以PM=PC=.…………14分
17.(本小题满分14分)
………
解:
(1)连结DC.在△ABC中,AC为2百米,AC⊥BC,∠A为,
所以∠CBA=,AB=4,BC=2.………2分
因为BC为直径,所以∠BDC=,所以BD=BCcosθ=2cosθ.…………4分
(2)在△BDF中,∠DBF=θ+,∠BFD=,BD=2cosθ,
所以==,所以DF=4cosθsin(+θ),……………6分
且BF=4cosθ,所以DE=AF=4-4cosθ,…………8分
所以DE+DF=4-4cosθ+4cosθsin(+θ)=sin2θ-cos2θ+3=2sin(2θ-)+3.………12分
因为≤θ<,所以≤2θ-<,所以当2θ-=,即θ=时,DE+DF有最大值5,此时E与C重合.…13分答:
当E与C重合时,两条栈道长度之和最大.…………14分
18.(本小题满分16分)
解
(1)离心率e==,所以c=a,b==a,………………2分
所以椭圆C的方程为+=1.
因为椭圆C经过点P(,),所以+=1,
所以b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.…………………………………4分
(2)解法一
设N(n,0),当l斜率不存在时,A(,y),B(,-y),则y2=1-=,
则=(-n)2-y2=(-n)2-=n2-n-,…………6分
当l经过左、右顶点时,=(-2-n)(2-n)=n2-4.
令n2-n-=n2-4,得n=4.………………8分
下面证明当N为(4,0)时,对斜率为k的直线l:
y=k(x-),恒有=12.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(4k2+1)x2-k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=,……………10分
所以=(x1-4)(x2-4)+y1y2
=(x1-4)(x2-4)+k2(x1-)(x2-)
=(k2+1)x1x2-(4+k2)(x1+x2)+16+k2……………12分
=(k2+1)-(4+k2)+16+k2
=+16
=+16=12.
所以在x轴上存在定点N(4,0),使得为定值.………………16分
解法二
设N(n,0),当直线l斜率存在时,设l:
y=k(x-),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得(4k2+1)x2-k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=,……………6分
所以=(x1-n)(x2-n)+y1y2=(x1-n)(x2-n)+k2(x1-)(x2-)
=(k2+1)x1x2-(n+k2)(x1+x2)+n2+k2
=(k2+1)-(n+k2)+n2+k2………………8分
=+n2
=+n2.………………12分
若为常数,则为常数,设=λ,λ为常数,
则(-n-)k2-4=4λk2+λ对任意的实数k恒成立,
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