热力学答案Word格式.docx
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13.体系由三种气体按任意比例混合而成,该系统的独立强度参量数目为4。
14.根据吉布斯相律,3元二相系的自由度为3。
15.一级相变的克拉珀龙方程的表达式为。
16.对于费米系统,给定分布对应的微观状态数为。
17.对于玻色系统,给定分布对应的微观状态数为 。
18.对于玻尔兹曼系统,给定分布对应的微观状态数为。
19.等概率原理的内容是对于处在平衡状态的孤立系统,系统各个可能的微观状态出现的概率都是相等的。
20.两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中,一个粒子处在状态a,一个粒子处在状态b,如果它们是费米粒子,则这一分布出现的概率是1/3。
21.两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中,一个粒子处在状态a,一个粒子处在状态b,如果它们是玻耳兹曼粒子(即经典粒子),则这一分布出现的概率是1/9。
22.两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中,一个粒子处在状态a,一个粒子处在状态b,如果它们是玻色子,则这一分布出现的概率是1/6。
23.玻尔兹曼系统的最概然分布的形式是。
24.玻色系统的最概然分布的形式是。
25.费米系统的最概然分布的形式是。
25.当满足或者条件时,玻色分布和费米分布趋向于玻尔兹曼分布。
26.粒子遵从玻尔兹曼分布,能量表达式为,其中a、b、c为常数,则粒子的平均能量为
27.利用能量均分定理求空窖内辐射场中具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波的平均能量是KT。
28.平衡状态下光子气体的化学势等于0。
29.系综的概念是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立的假想系统的集合,其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿,但有不同的微观状态,这种系统的集合叫统计系综。
30.玻色-爱因斯坦凝聚是粒子在动量空间的凝聚。
31.对一个有N个分子组成的某经典气体系统,空间中一个代表点表示系统在某一时刻的微观运动状态。
32.正则分布是具有 确定的N、T、V 宏观条件的系统的分布函数。
33.巨正则分布是具有确定的T、V、 宏观条件的系统的分布函数。
34.微正则分布是具有 确定的N、E、V 宏观条件的系统的分布函数。
二、证明题
1.根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交.
证明:
假设两条绝热线可以相交,如图,可由这两条绝热线与一等温线构成一个循环.
可令一可逆热机以该循环工作,即:
由初态a出发经历等温膨胀过程到达b,在此过程中热机从热源吸热且对外界作功,再由b经历绝热膨胀过程到达c,在此过程中热机对外界作功,最后,由c经历绝热压缩过程返回初态a.在整个循环中,热机从单一热源吸热使之完全变成有用功(由三条线围成的封闭图形之面积)而不引起其它变化,这就违背了开氏说法.若开氏说法正确,则两条绝热线不能相交.
2.试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。
气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数和描述。
令
绝热膨胀制冷效果更好。
3.有两个相同的物体,热容量为常数,初始温度同为。
今令一制冷机在此两物体之间工作,使其中一个物体的温度降到为止。
假设物体维持在定压下,并且不发生相变。
试根据熵增加原理证明,此过程所需要的最小功为。
经过一工作循环,
一物体从初始温度为T1降为T2,放出的热量值和熵变分别为:
另一物体从初始温度为T1升为T3(T3为未知量)吸收的热量值和熵变分别为:
热机工作物质恢复原状,熵变为0。
根据热力学第一定律有:
根据热力学第二定律有:
所以此过程所需的最小功为:
4.求证
自由能是以为自变量的特性函数,求对的偏导数,有
(1)
但自由能的全微分
可得=,
=-
(2)
代入
(1),即有-=-T
5.固体含有A、B两种原子.试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
其中N是总原子数,x是A原子的百分比,(1一x)是B原子的百分比.注意x<
1.上式给出的熵为正值.
A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数:
所以混合熵
当N很大时,利用公式
证毕
6.试根据公式证明,对于非相对论粒子
,()有
上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
处在边长为L的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为
()-------
(1)
为书写简便,我们将上式简记为-----------------------
(2)
其中V=L3是系统的体积,常量,并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数。
由
(2)式可得---------------------(3)
代入压强公式,有----------------------(4)
式中是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
注:
(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度,式(4)中的U仅指平动内能。
7.气柱的高度为H,截面为S,处在重力场中,试证明此气柱的内能为
为明确起见,假设气体是单原子分子理想气体。
在重力场中分子的能量为
----------------------
(1)
粒子的配分函数为
----------------
(2)
其中是气柱的截面积。
气柱的内能为
-----(3)
式中
8.气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。
试证明,在平衡状态下分子动量的最概然分布为
气体是非定域系统,由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。
与分布相应的气体的微观状态数为---------
(1)
其对数为---------
(2)
在气体沿Z方向作整体运动的情形下,分布必须满足下述条件:
;
---------(3)
其中PZ是气体在Z方向的总动量,PLZ是处在能级l的分子所具有的Z方向动量。
气体分子的最概然分布是在限制条件(3)下,使lnΩ为极大的分布。
令各有al的变化δal,lnΩ将因而有变化
限制条件(3)要求
;
根据拉氏乘子法原理,每个δal的系数都等于零,所以有
或---------(4)
可以将式(4)改写成为动量的连续分布:
在体积V=L3内,
在PX到PX+dPX,PY到PY+dPY,PZ到PZ+dPZ,的动量范围内的分子数
-------(5)
-------(6)
9.铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与成正比.
证明:
在体积V中,ω到ω+dω的频率范围内准粒子的量子态数为
推导上式时,用到关系.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的.系统的内能为
考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率.但在低温下,在积分中可令.设,则有
其中,C为常数.易得.
10.证明:
在正则分布中熵可表为其中是系统处在态的概率。
证:
多粒子配分函数
由
(1)知
代至
(2)得;
于是
三.推导题
1.证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数,根据下述积分求得,如果,试求物态方程。
解:
体胀系数
等温压缩系数
以T,P为自变量,物质的物态方程为
其全微分为
这是以T,P为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得
根据题设,若
则有,PV=CT
要确定常数C,需要进一步的实验数据。
2.均匀杆的温度一端为T1,另一端为T2,试计算达到均匀温度后的熵增。
T1
Ti
T2
0lx
第i处的初温为
设单位长度的定压热容量为Cx,
总熵变
3.假设自由电子在二维平面上运动,面密度为n.试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.
解:
考虑电子自旋有两种取向后,二维电子气体在ε→ε+dε的能量范围内电子的量子态数为
所以0K时电子的最大能量由下式确定:
内能
对于二维电子气体,V=L2
所以0K时的简并压
4.以n表晶体中磁性原予的密度.设原了的总角动量量子数为1.在外磁场下,原子磁矩可以有三个不同的取向,即平行、垂直、反平行于外磁场.假设磁矩之间的相互作用可以忽略.试求在温度为T时晶体的磁化强度μ及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值.
依题意,原子具有三个状态,能量分别为-μB、0、μB。
按玻尔兹曼分布,原子处于这些态的几率分别为其中C为归一化常数,由下式决定:
晶体的磁化强度
弱场高温极限下:
βμB→1
此时
强场低温极限下:
βμB→∞
5.试导出二维空间的普朗克公式。
利用所得结果导出二维空间的斯特藩-玻尔兹曼定律。
对二维气体
考虑在面积S内的状态数:
;
将其改写为极坐标:
在面积S内,范围内的状态数(不考虑方向):
又由德布罗意关系和能量与动量间关系知:
故,
将上式代入状态数的表达式:
代入dN,得平衡辐射时,面积S内,频率在范围内的光子数:
(,)
由此可得平衡辐射时能量按频率分布为:
总能量为:
6.试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程,内能和熵。
装在容积为V、温度为T的容器中的单原子理想气体分子,粒子自由度r=3。
一个粒子的能量表达式为
求得粒子的配分函数
将它代入热力学公式,得到单原子理想气体的几个主要热力学函数为
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