勾股定理基础知识讲解Word文档格式.docx
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要点二、勾股定理的证明
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形.
图
(1)中,所以.
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形.
图
(2)中,所以.
方法三:
如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.
,所以.
要点三、勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;
2.用于解决带有平方关系的证明问题;
3.与勾股定理有关的面积计算;
4.勾股定理在实际生活中的应用.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边分别为、、.
(1)若=5,=12,求;
(2)若=26,=24,求.
【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长.
【答案与解析】
解:
(1)因为△ABC中,∠C=90°
,,=5,=12,
所以.所以=13.
(2)因为△ABC中,∠C=90°
,,=26,=24,
所以.所以=10.
【总结升华】已知直角三角形的两边长,求第三边长,关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边,再决定用勾股原式还是变式.
举一反三:
【变式】在△ABC中,∠C=90°
(1)已知=6,=10,求;
(2)已知,=32,求、.
【答案】
(1)∵∠C=90°
,=6,=10,
∴,
∴=8.
(2)设,,
∵∠C=90°
,=32,
∴.
即.
解得=8.
∴,.
类型二、与勾股定理有关的证明
2、(优质试题•丰台区一模)阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙,它的证法多种多样,下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为c,然后按图1的方法将它们摆成正方形.
由图1可以得到(a+b)2=4×
,
整理,得a2+2ab+b2=2ab+c2.
所以a2+b2=c2.
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形,请你参照上述证明勾股定理的方法,完成下面的填空:
由图2可以得到 ,
整理,得 ,
所以 .
证明:
∵S大正方形=c2,S大正方形=4S△+S小正方形=4×
ab+(b﹣a)2,
∴c2=4×
整理,得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2,
∴c2=a2+b2.
故答案是:
;
2ab+b2﹣2ab+a2=c2;
a2+b2=c2.
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理,解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形.
【变式】如图,在△ABC中,∠C=90°
,D为BC边的中点,DE⊥AB于E,则AE2-BE2等于()
A.AC2
B.BD2
C.BC2
D.DE2
【答案】连接AD构造直角三角形,得
,选A.
类型三、与勾股定理有关的线段长
【高清课堂勾股定理例3】
3、如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D;
【解析】
设AB=,则AF=,
∵△ABE折叠后的图形为△AFE,
∴△ABE≌△AFE.BE=EF,
EC=BC-BE=8-3=5,
在Rt△EFC中,
由勾股定理解得FC=4,
在Rt△ABC中,,解得.
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题,最后通过勾股定理求解.
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.6B.5C.11D.16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用,由b是正方形,可求△ABC≌△CDE.由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积.
【答案】D
∵∠ACB+∠ECD=90°
,∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,
∵
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∴
∴b的面积为5+11=16,故选D.
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题,考查了对勾股定理几何意义的理解能力,根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键.
【变式】
(优质试题•东莞模拟)如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S=4,S=9,S=8,S=10,则S=( )
A.25
B.31
C.32
D.40
【答案】解:
如图,由题意得:
AB2=S1+S2=13,
AC2=S3+S4=18,
∴BC2=AB2+AC2=31,
∴S=BC2=31,
故选B.
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、(优质试题春•淄博期中)有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高.
【思路点拨】根据题中所给的条件可知,竹竿斜放就恰好等于门的对角线长,可与门的宽和高构成直角三角形,运用勾股定理可求出门高.
设门高为x尺,则竹竿长为(x+1)尺,
根据勾股定理可得:
x2+42=(x+1)2,即x2+16=x2+2x+1,
解得:
x=7.5,
竹竿高=7.5+1=8.5(尺)
答:
门高7.5尺,竹竿高8.5尺.
【总结升华】本题考查勾股定理的运用,正确运用勾股定理,将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键.
【变式】如图所示,一旗杆在离地面5处断裂,旗杆顶部落在离底部12处,则旗杆折断前有多高?
因为旗杆是垂直于地面的,所以∠C=90°
,BC=5,AC=12,
∴().
∴BC+AB=5+13=18().
∴旗杆折断前的高度为18.
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